Номер 165, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 165, страница 37.

Условие 2023.

165. Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями ромба и квадрата, а также свойствами параллелограмма.

Дано:

Четырехугольник ABCD — ромб.

Один из его углов прямой, например, $\angle A = 90^\circ$.

Доказать:

Четырехугольник ABCD — квадрат.

Доказательство:

1. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, для ромба ABCD выполняется равенство: $AB = BC = CD = DA$.

2. Так как любой ромб является параллелограммом, для него верны все свойства параллелограмма. В частности:

а) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

б) Противоположные углы равны.

3. Используем свойство о сумме углов, прилежащих к одной стороне. Для стороны AB имеем:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

4. По условию нам известно, что $\angle A = 90^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$90^\circ + \angle B = 180^\circ$

Отсюда находим величину угла $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

5. Теперь используем свойство о равенстве противоположных углов:

$\angle C = \angle A = 90^\circ$

$\angle D = \angle B = 90^\circ$

6. Таким образом, мы установили, что в ромбе ABCD все стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы равны $90^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

7. Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, по определению является квадратом. Следовательно, ромб ABCD является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если один из углов ромба является прямым, то из свойств параллелограмма следует, что все его углы также являются прямыми. Ромб по определению имеет все равные стороны. Таким образом, данный ромб является четырехугольником с равными сторонами и прямыми углами, что соответствует определению квадрата.

Условие 2015-2022.

165. Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).