Номер 162, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 162, страница 36.

Условие 2023.

162. На сторонах угла с вершиной в точке $A$ отложены равные отрезки $AB$ и $AC$. Через точки $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, которые пересекаются в точке $D$. Докажите, что луч $AD$ является биссектрисой угла $BAC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△ACD$.

По условию задачи, прямая, проходящая через точку $B$, перпендикулярна стороне $AB$, а прямая, проходящая через точку $C$, перпендикулярна стороне $AC$. Это означает, что углы $∠ABD$ и $∠ACD$ являются прямыми, то есть $∠ABD = 90°$ и $∠ACD = 90°$. Следовательно, треугольники $△ABD$ и $△ACD$ — прямоугольные.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. По условию задачи отрезки $AB$ и $AC$ равны: $AB = AC$. В треугольниках $△ABD$ и $△ACD$ это катеты.

2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников. Так как в прямоугольных треугольниках она лежит напротив прямого угла, $AD$ — это общая гипотенуза.

Таким образом, прямоугольные треугольники $△ABD$ и $△ACD$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников ($△ABD = △ACD$) следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы $∠BAD$ и $∠CAD$, так как они лежат напротив соответственно равных катетов $BD$ и $CD$.

Поскольку луч $AD$ делит угол $∠BAC$ на два равных угла ($∠BAD = ∠CAD$), то, по определению, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что луч $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, доказано.

Условие 2015-2022.

162. На сторонах угла с вершиной в точке $A$ отложены равные отрезки $AB$ и $AC$. Через точки $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, которые пересекаются в точке $D$. Докажите, что луч $AD$ является биссектрисой угла $BAC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).