Номер 159, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 159, страница 35.

Условие 2023.

159. Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи выполним анализ, построение и доказательство.

Анализ

Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Пусть нам дана его диагональ $AC = d$ и противолежащий ей угол $\angle B = \alpha$.

Воспользуемся свойствами ромба:

• Все стороны равны ($AB = BC = CD = DA$).
• Диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является серединой $AC$, и $AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равнобедренным, так как $AB = BC$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABO = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (поскольку $\angle AOB = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAO = 90^\circ - \angle ABO = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, построение ромба сводится к построению треугольника $ABO$ по катету $AO$ и прилежащему углу $\angle BAO$. Вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$. Вершину $D$ можно построить симметрично вершине $B$ относительно прямой $AC$.

Это приводит нас к следующему плану построения.

Построение

Пусть дан отрезок, равный по длине диагонали $d$, и угол $\alpha$.

1. Построим отрезок $AC$ равный данному отрезку $d$.
2. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Пусть $O$ — точка пересечения $m$ и $AC$.
3. Построим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$ (построением биссектрисы угла $\alpha$).
4. Построим прямой угол ($90^\circ$). Вычитая из него построенный угол $\frac{\alpha}{2}$, получим угол, равный $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
5. От луча $AO$ отложим угол $\angle OAB$, равный $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
6. Луч, являющийся второй стороной построенного угла, пересечет прямую $m$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$. Мы нашли третью вершину ромба.
7. На прямой $m$ отложим от точки $O$ отрезок $OD$, равный отрезку $OB$, так, чтобы точки $B$ и $D$ лежали по разные стороны от прямой $AC$. Мы нашли четвертую вершину $D$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

По построению, диагональ $AC$ равна заданной длине $d$.

По построению, прямая $BD$ проходит через середину $O$ отрезка $AC$ и перпендикулярна ему. Также по построению $OB = OD$. Следовательно, диагонали четырехугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. По признаку, такой четырехугольник является ромбом.

Теперь докажем, что угол $\angle ABC$ равен заданному углу $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ ($\angle AOB = 90^\circ$). По построению, $\angle BAO = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle ABO = 90^\circ - \angle BAO = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2}$.

Так как в ромбе диагональ является биссектрисой угла, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Таким образом, построенный ромб $ABCD$ имеет диагональ $AC$, равную $d$, и противолежащий ей угол $\angle ABC$, равный $\alpha$. Задача решена.

Ответ: Построение выполнено и доказано в соответствии с приведенным алгоритмом.

Условие 2015-2022.

159. Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).