Номер 153, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 153, страница 35.

Условие 2023.

153. Постройте ромб:

1) по стороне и углу;

2) по двум диагоналям;

3) по высоте и углу.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по стороне и углу

Пусть нам даны отрезок $a$, равный стороне ромба, и угол $\alpha$, равный одному из углов ромба. Алгоритм построения будет следующим:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля отложим от точки A на прямой отрезок AB, равный по длине стороне $a$.
3. От луча AB в точке A отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
4. На второй стороне построенного угла отложим от точки A отрезок AD, равный по длине стороне $a$.
5. Теперь у нас есть три вершины ромба: A, B, и D. Четвертая вершина C находится на расстоянии $a$ от точек B и D.
6. Проведем дугу окружности с центром в точке B и радиусом $a$.
7. Проведем дугу окружности с центром в точке D и радиусом $a$.
8. Точка пересечения этих двух дуг будет четвертой вершиной ромба — C.
9. Соединим отрезками точки B с C и D с C.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым ромбом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB = AD = BC = DC = a$), а угол при вершине A равен $\alpha$.

Ответ: ромб построен.

2) по двум диагоналям

Пусть нам даны два отрезка $d_1$ и $d_2$, равные диагоналям ромба. Построение основано на свойстве диагоналей ромба: они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Начертим отрезок AC, равный по длине диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AC. Для этого проведем две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим половины AC) с центрами в точках A и C. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
3. На построенном перпендикуляре от точки O в обе стороны отложим отрезки, равные половине длины второй диагонали, то есть $d_2/2$. Получим точки B и D.
4. Соединим последовательно точки A, B, C и D отрезками.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым ромбом, так как его диагонали AC и BD по построению взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам, а их длины равны $d_1$ и $d_2$.

Ответ: ромб построен.

3) по высоте и углу

Пусть нам даны отрезок $h$, равный высоте ромба, и угол $\alpha$, равный одному из его углов.

1. Проведем две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ на расстоянии $h$ друг от друга. Для этого можно провести прямую $l_1$, в произвольной точке M на ней восстановить перпендикуляр, отложить на нем отрезок MN длиной $h$ и через точку N провести прямую $l_2$, параллельную $l_1$.
2. На прямой $l_1$ выберем произвольную точку A.
3. В точке A построим луч, образующий с прямой $l_1$ угол, равный данному углу $\alpha$. Этот луч пересечет прямую $l_2$ в некоторой точке D. Отрезок AD будет стороной искомого ромба.
4. Измерим циркулем длину полученной стороны AD.
5. На прямой $l_1$ от точки A отложим отрезок AB, равный по длине AD.
6. Теперь найдем четвертую вершину C. Проведем дугу окружности с центром в точке B и радиусом AD. Проведем дугу окружности с центром в точке D и радиусом AD.
7. Точка пересечения этих дуг (которая также будет лежать на прямой $l_2$) и будет вершиной C.
8. Соединим точки B с C и D с C.

Четырехугольник ABCD — искомый ромб. По построению его стороны AD и BC параллельны (лежат на параллельных прямых), а стороны AB и DC также параллельны, и все стороны равны ($AD = AB = BC = DC$). Высота ромба равна расстоянию между прямыми $l_1$ и $l_2$, то есть $h$. Угол при вершине A равен $\alpha$.

Ответ: ромб построен.

Условие 2015-2022.

153. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его стороны $BC$ и $AD$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $ABFE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).