Номер 160, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 160, страница 35.

Условие 2023.

160. Постройте ромб:

1) по сумме диагоналей и углу между диагональю и стороной;

2) по острому углу и разности диагоналей;

3) по острому углу и сумме стороны и высоты;

4) по стороне и сумме диагоналей;

5) по тупому углу и сумме диагоналей;

6) по стороне и разности диагоналей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по сумме диагоналей и углу между диагональю и стороной

Пусть дан отрезок, равный сумме диагоналей $S = d_1 + d_2$, и угол $\gamma$, равный углу между диагональю и стороной ромба.

Анализ:Предположим, что ромб $ABCD$ построен. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$). Стороны этого треугольника — это половинки диагоналей $AO = d_1/2$, $BO = d_2/2$ и сторона ромба $AB$. Угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен $\angle OAB = \gamma$.Нам дана сумма $d_1+d_2 = S$, следовательно, сумма полудиагоналей $AO+BO = S/2$.Рассмотрим вспомогательную конструкцию. На луче $AO$ отложим за точку $O$ отрезок $OK=BO$. Тогда $AK = AO+OK = AO+BO = S/2$. Треугольник $BOK$ — прямоугольный ($\angle BOK = 90^\circ$) и равнобедренный ($OK=BO$), следовательно, его углы при основании равны $45^\circ$, то есть $\angle OKB = 45^\circ$.Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы можем его построить, так как знаем сторону $AK = S/2$ и два прилежащих к ней угла: $\angle BAK = \gamma$ и $\angle AKB = 45^\circ$. Построив этот треугольник, мы найдем вершину $B$ и сторону ромба $AB$. Точка $O$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AK$.

Построение:

1. Строим отрезок $AK$, равный половине данной суммы диагоналей, $AK=S/2$.
2. От луча $AK$ в одну полуплоскость откладываем угол $\angle KAN$, равный данному углу $\gamma$.
3. От луча $KA$ в ту же полуплоскость откладываем угол $\angle AKM = 45^\circ$.
4. Лучи $AN$ и $KM$ пересекаются в точке $B$, которая является вершиной искомого ромба.
5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BO$ на прямую $AK$. Точка $O$ — центр ромба.
6. На луче $AO$ откладываем отрезок $OC=AO$ так, что $O$ лежит между $A$ и $C$.
7. На луче $BO$ откладываем отрезок $OD=BO$ так, что $O$ лежит между $B$ и $D$.
8. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство:По построению, $AC \perp BD$ и диагонали в точке $O$ делятся пополам, значит $ABCD$ — ромб. В $\triangle BOK$ $\angle BOK=90^\circ$ и $\angle BKO=45^\circ$, следовательно, $\triangle BOK$ равнобедренный, $BO=OK$.Тогда $AO+BO = AO+OK = AK = S/2$. Сумма диагоналей $d_1+d_2 = 2AO+2BO = 2(AO+BO) = 2(S/2) = S$. Угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен $\angle OAB$, который по построению равен $\gamma$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

2) по острому углу и разности диагоналей

Пусть дан острый угол ромба $\alpha$ и отрезок, равный разности диагоналей $D = d_1 - d_2$ (где $d_1$ — большая диагональ).

Анализ:Предположим, что ромб $ABCD$ с острым углом $\angle A = \alpha$ построен. Диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$ пересекаются в точке $O$. В прямоугольном треугольнике $AOB$ угол $\angle OAB = \alpha/2$. Катеты $AO=d_1/2$ и $BO=d_2/2$. Разность полудиагоналей равна $AO-BO = D/2$.На отрезке $AO$ отложим отрезок $OK=BO$. Тогда $AK = AO-OK = AO-BO = D/2$. Треугольник $BOK$ является прямоугольным и равнобедренным ($OK=BO$, $\angle BOK = 90^\circ$), поэтому $\angle OKB = 45^\circ$.Угол $\angle AKB$ является смежным с углом $\angle OKB$, значит $\angle AKB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.Рассмотрим треугольник $ABK$. Мы можем его построить по стороне $AK = D/2$ и двум прилежащим углам: $\angle KAB = \alpha/2$ и $\angle AKB = 135^\circ$.

Построение:

1. Строим отрезок $AK$, равный половине данной разности диагоналей, $AK=D/2$.
2. Строим угол $\alpha/2$ (половину данного острого угла).
3. От луча $AK$ откладываем угол $\angle KAN = \alpha/2$.
4. От луча $KA$ откладываем угол $\angle AKM = 135^\circ$ в ту же полуплоскость.
5. Лучи $AN$ и $KM$ пересекаются в точке $B$ — вершине ромба.
6. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BO$ на прямую, содержащую отрезок $AK$. Точка $O$ — центр ромба.
7. На луче $AO$ откладываем $OC=AO$, на луче $BO$ откладываем $OD=BO$.
8. Соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство:По построению, $ABCD$ — ромб. В $\triangle BOK$ $\angle BOK=90^\circ$ и $\angle BKO = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Значит, $\triangle BOK$ равнобедренный, $BO=OK$.Тогда $AO-BO = (AK+KO)-BO = (AK+BO)-BO = AK = D/2$. Разность диагоналей $d_1-d_2 = 2(AO-BO) = 2(D/2) = D$. Острый угол ромба $\angle A = 2\angle OAB = 2(\alpha/2) = \alpha$. Ромб удовлетворяет условиям.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

3) по острому углу и сумме стороны и высоты

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $S$, равный сумме стороны и высоты ромба, $S=a+h$.

Анализ:Пусть искомый ромб $ABCD$ с углом $\angle A=\alpha$, стороной $a$ и высотой $h$ построен. Высота ромба связана со стороной и углом соотношением $h = a \sin \alpha$. Нам дана сумма $S=a+h=a(1+\sin\alpha)$. Это соотношение указывает на возможность использования метода подобия.Построим вспомогательный ромб $A'B'C'D'$ с тем же острым углом $\alpha$, но с произвольной стороной $a'$. Его высота будет $h'=a' \sin \alpha$. Для этого ромба сумма стороны и высоты будет $S' = a'+h'$. Искомый ромб будет подобен построенному с коэффициентом подобия $k=S/S'$.

Построение:

1. Строим угол $\angle XAY$, равный данному углу $\alpha$.
2. На луче $AY$ выбираем произвольную точку $D'$ и откладываем $A'D'=a'$.
3. Из точки $D'$ опускаем перпендикуляр $D'H'$ на луч $AX$. Длина $D'H'$ равна высоте $h'$.
4. Строим отрезок $S' = a' + h'$.
5. На произвольном луче с началом в точке $O'$ откладываем отрезки $OK = S'$ и $OL=S$.
6. На луче $AY$ у нас есть точка $D'$ (соответствующая $a'$). Соединяем точку $K$ с точкой $D'$.
7. Через точку $L$ проводим прямую, параллельную $KD'$. Эта прямая пересечет луч $AY$ в точке $D$. Точка $D$ — вершина искомого ромба.
8. Отрезок $AD$ является стороной искомого ромба $a$.
9. На луче $AX$ откладываем отрезок $AB=AD$.
10. Через точку $D$ проводим прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AD$. Их пересечение дает вершину $C$.
11. $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство:По построению, $ABCD$ — параллелограмм с равными сторонами $AB=AD$, т.е. ромб. Угол $\angle A=\alpha$. Из подобия треугольников $O'LK$ и $O'DA'D'$ (по теореме Фалеса) следует, что $AD/A'D' = OL/OK = S/S'$. Пусть $h$ — высота ромба $ABCD$. Из подобия $\triangle ADH \sim \triangle A'D'H'$ следует $h/h' = AD/A'D'$.Тогда $a/a' = h/h' = S/S'$. Отсюда $a=a'(S/S')$ и $h=h'(S/S')$.Сумма стороны и высоты построенного ромба: $a+h = a'(S/S') + h'(S/S') = (a'+h')(S/S') = S'(S/S') = S$. Условия выполнены.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

4) по стороне и сумме диагоналей

Пусть дана сторона ромба $a$ и сумма его диагоналей $S = d_1 + d_2$.

Анализ:Пусть искомый ромб построен. В прямоугольном треугольнике $AOB$ катеты $AO=d_1/2, BO=d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба $AB=a$. Таким образом, $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$. Сумма катетов этого треугольника равна $AO+BO = S/2$.Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе $a$ и сумме катетов $L=S/2$.Пусть катеты $x$ и $y$. Дано: $x+y=L$ и $x^2+y^2=a^2$.Рассмотрим следующий прием. Построим отрезок $PK=L$. В точке $P$ восстановим перпендикуляр. Нет, это не то.Рассмотрим такую конструкцию: построим отрезок $PQ$ длиной $L$. В точке $P$ построим луч под углом $45^\circ$ к $PQ$. Из точки $Q$ проведем окружность радиусом $a$. Точка пересечения $M$ даст нам решение. Опустим из $M$ перпендикуляр $MO$ на $PQ$. В $\triangle PMO$ $\angle MPO = 45^\circ$, $\angle POM = 90^\circ$, значит он равнобедренный, $PO=MO$. Пусть $y=MO=PO$. Тогда $OQ = PQ - PO = L - y$. Пусть $x=OQ$. Катеты прямоугольного $\triangle MOQ$ равны $x$ и $y$. Их сумма $x+y = (L-y)+y=L$. Сумма их квадратов $x^2+y^2 = OQ^2+MO^2=MQ^2=a^2$. Следовательно, отрезки $OQ$ и $MO$ — искомые полудиагонали.

Построение:

1. Строим отрезок $PQ$, равный половине суммы диагоналей, $L=S/2$.
2. В точке $P$ строим луч $r$, образующий с отрезком $PQ$ угол $45^\circ$.
3. Из центра в точке $Q$ проводим дугу окружности радиусом $a$. Она пересечет луч $r$ в точке $M$. (Решение существует при $a < L \le a\sqrt{2}$).
4. Из точки $M$ опускаем перпендикуляр $MO$ на прямую $PQ$.
5. Отрезки $MO$ и $OQ$ являются половинами диагоналей искомого ромба.
6. Строим прямоугольный треугольник $AOB$ с катетами $AO=OQ$ и $BO=MO$.
7. Достраиваем $\triangle AOB$ до ромба $ABCD$ (симметричным отражением относительно катетов).

Доказательство:Построенный $ABCD$ — ромб со стороной $AB = \sqrt{AO^2+BO^2} = \sqrt{OQ^2+MO^2} = \sqrt{MQ^2} = a$.Сумма диагоналей $d_1+d_2=2(AO+BO) = 2(OQ+MO)$.В $\triangle PMO$: $\angle P=45^\circ, \angle O=90^\circ$, он равнобедренный, $PO=MO$.$OQ = PQ - PO = L - MO$.$AO+BO = OQ+MO = (L-MO)+MO = L=S/2$.Сумма диагоналей $2(S/2) = S$. Ромб удовлетворяет условиям.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

5) по тупому углу и сумме диагоналей

Пусть дан тупой угол ромба $\beta$ и сумма диагоналей $S = d_1 + d_2$.

Анализ:Эта задача аналогична задаче 1). Пусть $ABCD$ — искомый ромб с тупым углом $\angle B = \beta$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $BD$ делит угол $\beta$ пополам. В прямоугольном треугольнике $AOB$ угол $\angle OBA = \beta/2$. Сумма катетов $AO+BO = S/2$.Рассмотрим вспомогательную конструкцию. На луче $BO$ отложим за точку $O$ отрезок $OK=AO$. Тогда $BK = BO+OK = BO+AO=S/2$. Треугольник $AOK$ — прямоугольный и равнобедренный ($OK=AO$), значит, $\angle OKA=45^\circ$.В треугольнике $ABK$ нам известна сторона $BK=S/2$ и два прилежащих угла: $\angle KBA = \beta/2$ и $\angle BKA = 45^\circ$. Этот треугольник можно построить.

Построение:

1. Строим отрезок $BK=S/2$.
2. Строим угол $\beta/2$ (половину данного тупого угла).
3. От луча $BK$ откладываем угол $\angle KBM = \beta/2$.
4. От луча $KB$ откладываем угол $\angle BKN = 45^\circ$ в ту же полуплоскость.
5. Лучи $BM$ и $KN$ пересекаются в точке $A$ — вершине ромба.
6. Из точки $A$ опускаем перпендикуляр $AO$ на прямую $BK$. Точка $O$ — центр ромба.
7. Находим остальные вершины $C$ и $D$ симметрично $A$ и $B$ относительно точки $O$.
8. Соединяем вершины $A, B, C, D$.

Доказательство:Построенный четырехугольник $ABCD$ — ромб. В $\triangle AOK$ $\angle AOK=90^\circ, \angle AKO=45^\circ$, значит он равнобедренный, $AO=OK$.Сумма полудиагоналей $BO+AO = BO+OK = BK = S/2$. Сумма диагоналей $d_1+d_2=2(S/2)=S$.Угол ромба $\angle B = 2\angle OBA = 2(\beta/2) = \beta$. Ромб удовлетворяет условиям.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

6) по стороне и разности диагоналей

Пусть дана сторона $a$ и разность диагоналей $D = |d_1 - d_2|$.

Анализ:Задача сводится к построению прямоугольного треугольника $AOB$ по гипотенузе $AB=a$ и разности катетов $|AO-BO|=D/2$. Пусть $d=D/2$.Пусть катеты $x, y$. Дано: $|x-y|=d$ и $x^2+y^2=a^2$.Рассмотрим следующую конструкцию. Построим отрезок $KL=d$. В точке $K$ построим луч под углом $45^\circ$ к прямой $KL$. Из точки $L$ проведем окружность радиусом $a$. Точка пересечения $M$ позволит найти решение. Опустим из $M$ перпендикуляр $MN$ на прямую $KL$. В $\triangle KNM$ $\angle K=45^\circ, \angle N=90^\circ$, он равнобедренный, $KN=MN$. Пусть $y=MN=KN$. Тогда $NL = NK+KL = y+d$. Пусть $x=NL$. В прямоугольном $\triangle MNL$ катеты равны $x=y+d$ и $y$. Их разность $x-y = d$. Сумма их квадратов $x^2+y^2=NL^2+MN^2=ML^2=a^2$. Значит, отрезки $NL$ и $MN$ — искомые полудиагонали.

Построение:

1. Строим отрезок $KL$, равный половине разности диагоналей, $d=D/2$.
2. В точке $K$ строим луч $r$, образующий с прямой $KL$ угол $45^\circ$.
3. Из центра в точке $L$ проводим дугу окружности радиусом $a$. Она пересечет луч $r$ в точке $M$.
4. Из точки $M$ опускаем перпендикуляр $MN$ на прямую $KL$.
5. Отрезки $NL$ и $MN$ являются половинами диагоналей искомого ромба.
6. Строим прямоугольный треугольник $AOB$ с катетами $AO=NL$ и $BO=MN$.
7. Достраиваем $\triangle AOB$ до ромба $ABCD$.

Доказательство:Построенный $ABCD$ — ромб со стороной $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{NL^2+MN^2}=\sqrt{ML^2}=a$.Разность полудиагоналей $|AO-BO|=|NL-MN|$.В $\triangle KNM$ $\angle K=45^\circ, \angle N=90^\circ$, значит $KN=MN$.$NL = NK+KL = MN+d$.$|NL-MN| = |(MN+d)-MN| = d = D/2$.Разность диагоналей $|d_1-d_2|=2(D/2)=D$. Ромб удовлетворяет условиям.

Ответ: ромб $ABCD$ построен.

Условие 2015-2022.

160. Постройте ромб:

1) по сумме диагоналей и углу между диагональю и стороной;

2) по острому углу и разности диагоналей;

3) по острому углу и сумме стороны и высоты;

4) по стороне и сумме диагоналей;

5) по тупому углу и сумме диагоналей;

6) по стороне и разности диагоналей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).