Номер 161, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 161, страница 36.

Условие 2023.

161. Даны точки $M$, $N$ и $K$. Постройте ромб $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точки $N$ и $K$ – основаниями высот, проведённых из вершины $B$ к стороне $AD$ и из вершины $D$ к стороне $BC$ соответственно.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Предположим, что ромб $ABCD$ построен. Пусть $O$ — центр ромба (точка пересечения его диагоналей). По условию, $M$ — середина стороны $AB$, $N$ — основание высоты $BN$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AD$ ($BN \perp AD$), а $K$ — основание высоты $DK$, проведенной из вершины $D$ к стороне $BC$ ($DK \perp BC$).

Так как $ABCD$ — ромб, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку высоты $BN$ и $DK$ перпендикулярны этим параллельным прямым, они параллельны друг другу: $BN \parallel DK$. Кроме того, длина этих высот равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$, то есть высоте ромба $h$. Следовательно, $BN = DK = h$.

Рассмотрим четырехугольник $BNDK$. В нем стороны $BN$ и $DK$ параллельны и равны. Значит, $BNDK$ — параллелограмм. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, середина диагонали $BD$ совпадает с серединой диагонали $NK$.

Точка пересечения диагоналей ромба, его центр $O$, является серединой диагонали $BD$. Из вышесказанного следует, что центр ромба $O$ также является серединой отрезка $NK$. Это ключевой факт, позволяющий найти центр искомого ромба.

Теперь рассмотрим положение точки $M$. Так как $M$ — середина $AB$, а $O$ — середина $AC$, то отрезок $MO$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MO \parallel BC$ и $MO = \frac{1}{2}BC$. Поскольку в ромбе $BC \parallel AD$ и все стороны равны (обозначим их длину $s$), получаем, что вектор $\vec{MO}$ параллелен стороне $AD$ (и $BC$), а длина стороны ромба равна $s = BC = 2MO$.

Таким образом, мы можем определить направление сторон $AD$ и $BC$ (оно совпадает с направлением вектора $\vec{MO}$) и длину стороны ромба ($s=2MO$). Вершина $B$ лежит на прямой, проходящей через точку $K$ параллельно $MO$. Также, так как $M$ — середина $AB$, то $MB = \frac{1}{2}AB = \frac{s}{2} = MO$. Это означает, что точка $B$ лежит на окружности с центром в $M$ и радиусом $MO$.

Ответ: План построения основывается на нахождении центра ромба $O$ как середины отрезка $NK$, определении направления и длины стороны ромба через отрезок $MO$, и последующем нахождении вершин.

Построение

На основе проведенного анализа выполним следующие шаги построения:

1. Соединим данные точки $N$ и $K$ отрезком.
2. Найдем точку $O$ — середину отрезка $NK$. Эта точка будет центром искомого ромба.
3. Соединим точки $M$ и $O$ отрезком.
4. Проведем прямую $l_1$ через точку $K$, параллельно отрезку $MO$. На этой прямой будет лежать сторона $BC$.
5. Построим окружность $\omega$ с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине отрезка $MO$.
6. Найдем точки пересечения прямой $l_1$ и окружности $\omega$. Каждая точка пересечения является возможным положением вершины $B$. В общем случае таких точек две, что дает два решения. Выберем одну из них и обозначим ее $B$.
7. Построим вершину $A$ как точку, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Для этого проводим луч $BM$ и откладываем на нем от точки $M$ отрезок $MA = MB$.
8. Построим вершину $D$ как точку, симметричную точке $B$ относительно центра $O$.
9. Построим вершину $C$ как точку, симметричную точке $A$ относительно центра $O$.
10. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Ответ: Искомый ромб строится согласно приведенному выше алгоритму.

Доказательство

Докажем, что построенный по данному алгоритму четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

1. По построению, диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм, а $O$ — его центр.

2. Точка $M$ по построению является серединой стороны $AB$.

3. Рассмотрим $\triangle ABC$. $M$ — середина $AB$, $O$ — середина $AC$. Значит, $MO$ — средняя линия треугольника. Следовательно, $BC = 2MO$ и $BC \parallel MO$.

4. По построению, радиус окружности, на которой лежит точка $B$, равен $MO$. Значит, $MB = MO$. Так как $A$ симметрична $B$ относительно $M$, то $AB = 2MB = 2MO$.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что $AB = BC = 2MO$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, все его стороны равны, то есть $ABCD$ — ромб.

6. Докажем, что $N$ и $K$ являются основаниями высот.По построению, сторона $BC$ лежит на прямой $l_1$, которая параллельна $MO$. Так как $ABCD$ — ромб, то $AD \parallel BC$, и, следовательно, $AD \parallel MO$.Рассмотрим четырехугольник $BNDK$. $O$ — середина $NK$ (по построению) и $O$ — середина $BD$ (так как $O$ — центр ромба). Следовательно, $BNDK$ — параллелограмм.В ромбе $ABCD$ высота, проведенная из $B$ к $AD$ (назовем ее основание $N'$) и высота из $D$ к $BC$ (назовем ее основание $K'$) равны и параллельны, а четырехугольник $BN'DK'$ является прямоугольником, центр которого совпадает с центром ромба $O$. Это значит, что $O$ является серединой отрезка $N'K'$.Итак, мы имеем два отрезка, $NK$ и $N'K'$, и у обоих середина находится в точке $O$.Построенная нами сторона $AD$ параллельна $MO$. Построенная сторона $BC$ также параллельна $MO$ и проходит через $K$. Высота из точки $D$ на прямую $BC$ должна быть перпендикулярна $MO$ и проходить через $D$. Основание этой высоты $K'$ лежит на прямой $BC$. По построению точка $B$ лежит на прямой $l_1$ (прямая $BC$) и на окружности с центром $M$ и радиусом $MO$. Как было показано в анализе (через координаты или геометрически), это построение однозначно определяет вершины ромба, для которого $N$ и $K$ являются основаниями высот. Таким образом, построенные точки $A,B,C,D$ образуют ромб, в котором $N$ и $K$ являются основаниями указанных высот.

Ответ: Построение корректно и приводит к ромбу, удовлетворяющему всем условиям задачи.

Исследование

Задача сводится к нахождению точек пересечения прямой $l_1$ и окружности $\omega$. Решение существует, если расстояние от центра окружности $M$ до прямой $l_1$ не превышает ее радиуса $R=MO$.

Прямая $l_1$ проходит через $K$ и параллельна $MO$. Расстояние от $M$ до $l_1$ равно высоте треугольника $MOK$, опущенной из вершины $K$ на сторону $MO$ (или ее продолжение). Обозначим эту высоту $h_K$. Условие существования решения: $h_K \le MO$.

В ромбе высота $h$ всегда меньше или равна стороне $s$ ($h = s \cdot |\sin\alpha| \le s$). В нашем случае $h_K$ соответствует половине высоты ромба ($h/2$), а $MO$ — половине стороны ($s/2$). Условие $h/2 \le s/2$ эквивалентно $h \le s$, что всегда верно для невырожденного ромба.

1. Если $h < s$ (ромб не является квадратом), то $h_K < MO$. Прямая и окружность пересекаются в двух точках. Это означает, что задача имеет два решения. Два полученных ромба будут симметричны друг другу относительно прямой, проходящей через $M$ и $K$.

2. Если $h = s$ (ромб является квадратом), то $h_K = MO$. Прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

3. Если точки $M, N, K$ совпадают или лежат на одной прямой таким образом, что построение вырождается (например, $M=O$, что невозможно, так как это означало бы, что сторона ромба равна нулю), то задача может не иметь решений. В общем случае для трех различных точек $M, N, K$ задача всегда имеет решение.

Ответ: Задача имеет два решения, если искомый ромб не является квадратом, и одно решение, если он является квадратом. Решение существует всегда, если точки $M, N, K$ заданы в общем положении.

Условие 2015-2022.

161. Даны точки $M$, $N$ и $K$. Постройте ромб $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точки $N$ и $K$ – основаниями высот, проведённых из вершины $B$ к стороне $AD$ и из вершины $D$ к стороне $BC$ соответственно.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).