Номер 157, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 157, страница 35.

Условие 2023.

157. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AD = 9$ см, $\angle BDA = 30^\circ$. На сторонах $BC$ и $AD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что образовался ромб $AMCK$. Найдите сторону этого ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона искомого ромба $AMCK$ равна $x$ см. По определению ромба, все его стороны равны, следовательно, $AM = MC = CK = KA = x$.

Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AD$ прямоугольника $ABCD$, то $AK = x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$, в котором $\angle DAB = 90^\circ$. По условию, $AD = 9$ см и $\angle BDA = 30^\circ$. Мы можем найти длину стороны $AB$ через тангенс угла $\angle BDA$:

$ \tan(\angle BDA) = \frac{AB}{AD} $

$ \tan(30^\circ) = \frac{AB}{9} $

Зная, что $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем:

$ AB = 9 \cdot \tan(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$, в котором $\angle B = 90^\circ$.

Гипотенуза этого треугольника – это сторона ромба $AM$, то есть $AM = x$.

Один из катетов – это сторона прямоугольника $AB = 3\sqrt{3}$ см.

Другой катет – это отрезок $BM$. Так как $M$ лежит на стороне $BC$, а $BC = AD = 9$ см (противоположные стороны прямоугольника), и $MC=x$ (сторона ромба), то длина катета $BM$ равна $BC - MC = 9 - x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle ABM$: $AM^2 = AB^2 + BM^2$.

$ x^2 = (3\sqrt{3})^2 + (9 - x)^2 $

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$ x^2 = 27 + (81 - 18x + x^2) $

$ x^2 = 27 + 81 - 18x + x^2 $

$ x^2 = 108 - 18x + x^2 $

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$ 0 = 108 - 18x $

$ 18x = 108 $

$ x = \frac{108}{18} $

$ x = 6 $

Следовательно, сторона ромба $AMCK$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

157. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AD = 9$ см, $\angle BDA = 30^\circ$. На сторонах $BC$ и $AD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что образовался ромб $AMCK$. Найдите сторону этого ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).