Номер 152, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 152, страница 35.

Условие 2023.

152. Отрезок $AM$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведены прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $AB$ в точке $K$, и прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $D$. Докажите, что $AM \perp DK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник AKMD. По условию задачи, через точку M проведена прямая, параллельная стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке K. Следовательно, $MK \parallel AC$. Так как точка D лежит на стороне AC, то $MK \parallel AD$. Также по условию, через точку M проведена прямая, параллельная стороне AB, которая пересекает сторону AC в точке D. Следовательно, $MD \parallel AB$. Так как точка K лежит на стороне AB, то $MD \parallel AK$.

Четырехугольник AKMD, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($MK \parallel AD$ и $MD \parallel AK$), является параллелограммом по определению.

По условию, отрезок AM является биссектрисой угла BAC, а это значит, что он делит угол на два равных угла: $\angle KAM = \angle DAM$.

Рассмотрим параллельные прямые $MD$ и $AB$ (а значит и $AK$) и секущую AM. Углы $\angle DMA$ и $\angle KAM$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle DMA = \angle KAM$.

Из равенств $\angle KAM = \angle DAM$ (свойство биссектрисы) и $\angle DMA = \angle KAM$ (свойство параллельных прямых) следует, что $\angle DAM = \angle DMA$.

В треугольнике ADM углы при стороне AM равны, следовательно, треугольник ADM является равнобедренным с основанием AM. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Таким образом, $AD = MD$.

Параллелограмм AKMD, у которого две смежные стороны равны ($AD = MD$), является ромбом.

Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Отрезки AM и DK являются диагоналями ромба AKMD.

Следовательно, $AM \perp DK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

152. Отрезок $AM$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведены прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $AB$ в точке $K$, и прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $D$. Докажите, что $AM \perp DK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).