Номер 148, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 148, страница 35.

Условие 2023.

148. Докажите, что высоты ромба равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что высоты ромба равны, можно использовать два подхода: через формулу площади или через равенство треугольников.

Способ 1: Через площадь ромба

1. Ромб является параллелограммом. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – длина стороны, а $h$ – высота, проведенная к этой стороне.

2. По определению, у ромба все стороны равны. Обозначим длину стороны ромба буквой $a$.

3. Пусть $h_1$ – высота, проведенная к одной из сторон ромба (например, к стороне AD). Тогда площадь ромба равна $S = a \cdot h_1$.

4. Пусть $h_2$ – высота, проведенная к другой стороне ромба (например, к стороне CD). Тогда площадь этого же ромба равна $S = a \cdot h_2$.

5. Поскольку мы вычисляем площадь одной и той же фигуры, мы можем приравнять полученные выражения:

$a \cdot h_1 = a \cdot h_2$

6. Так как длина стороны ромба $a$ не равна нулю ($a > 0$), мы можем разделить обе части равенства на $a$:

$h_1 = h_2$

Таким образом, любые две высоты ромба равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2: Через равенство треугольников

1. Рассмотрим ромб ABCD. Проведем из вершины B высоту $BH_1$ к стороне AD и высоту $BH_2$ к стороне CD.

2. В результате мы получили два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH_1$ (с прямым углом $\angle AH_1B$) и $\triangle CBH_2$ (с прямым углом $\angle CH_2B$).

3. Сравним эти треугольники:

- $AB = CB$, так как все стороны ромба равны. В наших треугольниках это гипотенузы.

- $\angle A = \angle C$, так как противоположные углы ромба равны. В наших треугольниках это острые углы.

4. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ и $\triangle CBH_2$ равны по гипотенузе и острому углу.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае, катет $BH_1$ первого треугольника равен соответствующему катету $BH_2$ второго треугольника.

$BH_1 = BH_2$

6. Поскольку $BH_1$ и $BH_2$ являются высотами ромба, мы доказали, что они равны. Аналогичное доказательство можно провести для высот, опущенных из любой другой вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

148. Докажите, что высоты ромба равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).