Номер 149, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 149, страница 35.

Условие 2023.

149. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a$. Пусть B — вершина тупого угла, а BH — высота, проведенная к стороне AD.

Согласно условию, высота BH делит сторону AD пополам. Это означает, что точка H является серединой стороны AD, и длина отрезка $AH = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как BH — высота, $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $AB = a$, а катет $AH = \frac{a}{2}$.

Найдем острый угол ромба $\angle A$, используя определение косинуса: $ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} $

Из этого следует, что острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$.

Углы

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180^\circ$. Острые углы: $\angle A = \angle C = 60^\circ$. Тупые углы: $\angle B = \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Периметр

Для нахождения периметра необходимо определить длину стороны ромба $a$. Используем для этого данную в условии длину меньшей диагонали.

Рассмотрим диагональ $BD$, которая соединяет вершины тупых углов. Она является стороной треугольника $\triangle ABD$. Этот треугольник равнобедренный ($AB = AD = a$) с углом при вершине $\angle A = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ является равносторонним, и все его стороны равны $a$. Таким образом, диагональ $BD = a$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая соединяет вершины острых углов. Её длину можно найти по теореме косинусов в $\triangle ABC$: $ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(\angle B) = a^2 + a^2 - 2a^2\cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 3a^2 $. Отсюда $AC = a\sqrt{3}$.

Сравнивая длины диагоналей $BD = a$ и $AC = a\sqrt{3}$, и учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.73 > 1$, делаем вывод, что $BD$ является меньшей диагональю.

По условию, меньшая диагональ равна 4 см, значит $a = BD = 4$ см.

Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$: $ P = 4 \cdot 4 = 16 $ см.

Ответ: периметр ромба равен 16 см.

Условие 2015-2022.

149. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).