Номер 150, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 150, страница 35.

Условие 2023.

150. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб $ABCD$. Проведем из вершины $A$ диагональ $AC$, а также две высоты: $AH$ к прямой, содержащей сторону $CD$, и $AK$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Нам необходимо доказать, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle HAK$, то есть что $\angle HAC = \angle KAC$.

По определению высоты, $AH \perp CD$ и $AK \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle AKC$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершинах $H$ и $K$ соответственно. То есть, $\angle AHC = 90^\circ$ и $\angle AKC = 90^\circ$.

Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $AC$ делит пополам угол $\angle BCD$. Отсюда следует, что $\angle BCA = \angle DCA$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому мы можем записать:$\angle HAC + \angle HCA = 90^\circ$.Выразим отсюда угол $\angle HAC$:$\angle HAC = 90^\circ - \angle HCA$.Так как точка $H$ лежит на прямой $CD$, угол $\angle HCA$ совпадает с углом $\angle DCA$. Таким образом, мы получаем:$\angle HAC = 90^\circ - \angle DCA$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AKC$. Для него также справедливо, что сумма острых углов равна $90^\circ$:$\angle KAC + \angle KCA = 90^\circ$.Выразим отсюда угол $\angle KAC$:$\angle KAC = 90^\circ - \angle KCA$.Так как точка $K$ лежит на прямой $BC$, угол $\angle KCA$ совпадает с углом $\angle BCA$. Таким образом, мы получаем:$\angle KAC = 90^\circ - \angle BCA$.

Сравнивая полученные выражения для углов $\angle HAC$ и $\angle KAC$ и учитывая, что $\angle DCA = \angle BCA$ (из свойства диагонали ромба), мы приходим к выводу:$\angle HAC = 90^\circ - \angle DCA = 90^\circ - \angle BCA = \angle KAC$.Следовательно, $\angle HAC = \angle KAC$, что и означает, что диагональ $AC$ делит пополам угол $\angle HAK$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

150. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).