Номер 146, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 146, страница 34.

Условие 2023.

146. Точки $M$ и $K$ – соответственно середины сторон $AB$ и $BC$ ромба $ABCD$. Докажите, что $MD = KD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:
$ABCD$ – ромб
$M$ – середина стороны $AB$
$K$ – середина стороны $BC$

Доказать:
$MD = KD$

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$.

1. По определению ромба, все его стороны равны, в частности $AB = BC$. Так как точка $M$ является серединой стороны $AB$, то $MB = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как точка $K$ является серединой стороны $BC$, то $KB = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $AB = BC$, то и их половины равны, следовательно, $MB = KB$.

2. Сторона $BD$ является общей для треугольников $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$.

3. По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Таким образом, $\angle MBD = \angle KBD$.

Итак, в треугольниках $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$ сторона $MB$ равна стороне $KB$, сторона $BD$ – общая, а угол между этими сторонами $\angle MBD$ равен углу $\angle KBD$.

Следовательно, треугольники $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $MD = KD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MD=KD$ доказано.

Условие 2015-2022.

146. Точки $M$ и $K$ – соответственно середины сторон $AB$ и $BC$ ромба $ABCD$. Докажите, что $MD = KD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).