Номер 140, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 140, страница 34.

Условие 2023.

140. В ромбе ABCD известно, что $\angle C = 140^\circ$, а диагонали пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника AOB.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба $ABCD$. В ромбе диагонали перпендикулярны, являются биссектрисами его углов, а противолежащие углы равны.

Найдём угол $\angle AOB$

По свойству ромба, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом. Точка $O$ является точкой их пересечения, следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным.

$\angle AOB = 90^\circ$.

Найдём угол $\angle OAB$

В ромбе противолежащие углы равны. Угол $\angle A$ противолежит данному углу $\angle C$, значит, $\angle A = \angle C = 140^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $AC$ делит угол $\angle A$ пополам. Угол $\angle OAB$ является половиной угла $\angle A$.

$\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

Найдём угол $\angle OBA$

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle B$ и $\angle C$ прилежат к стороне $BC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$, поэтому делит его пополам. Угол $\angle OBA$ является половиной угла $\angle B$.

$\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

Проверим сумму углов в полученном треугольнике $AOB$: $90^\circ + 70^\circ + 20^\circ = 180^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника $AOB$ равны $\angle AOB=90^\circ$, $\angle OAB=70^\circ$ и $\angle OBA=20^\circ$.

Условие 2015-2022.

140. В ромбе ABCD известно, что $\angle C = 140^\circ$, а диагонали пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника AOB.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).