Номер 2, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 2, страница 34.

Условие 2023.

2. Какими свойствами обладает ромб?

Решение 6 (2023).

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Из этого определения, а также из того, что ромб является частным случаем параллелограмма, вытекают все его свойства.

Свойства, унаследованные от параллелограмма

Поскольку ромб — это параллелограмм, он обладает всеми свойствами параллелограмма:

• Противоположные стороны попарно параллельны (например, если стороны ромба ABCD, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$).
• Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$).
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма: попарно параллельные противоположные стороны, равные противоположные углы, сумма соседних углов $180^\circ$ и диагонали, делящиеся пополам в точке пересечения.

Равенство всех сторон

Это основное, определяющее свойство ромба. Все четыре стороны ромба имеют одинаковую длину. Если обозначить длину стороны как $a$, то $AB = BC = CD = DA = a$.

Ответ: Все стороны ромба равны.

Свойства диагоналей

Диагонали ромба обладают двумя важными и уникальными свойствами, которые отличают его от произвольного параллелограмма:

1. Диагонали взаимно перпендикулярны. Если диагонали $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке $O$, то угол между ними равен $90^\circ$.
2. Диагонали являются биссектрисами его углов. Каждая диагональ делит соответствующий угол ромба на два равных угла.

Ответ: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его внутренних углов.

Соотношение между стороной и диагоналями

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенузой является сторона ромба ($a$). Применяя теорему Пифагора, получаем важное соотношение:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Из этого следует формула, связывающая длины диагоналей и длину стороны ромба:

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Ответ: Сумма квадратов диагоналей ромба равна учетверенному квадрату его стороны.

Формулы площади

Площадь ромба можно вычислить несколькими способами, используя его свойства:

• Через диагонали: как половина произведения его диагоналей. $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.
• Через сторону и высоту: как произведение длины стороны на высоту ($h$), проведенную к этой стороне. $S = a \cdot h$.
• Через сторону и угол: как произведение квадрата стороны на синус любого из его внутренних углов ($\alpha$). $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Ответ: Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2$), как произведение стороны на высоту ($S = a \cdot h$) или как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами ($S = a^2 \sin(\alpha)$).

Условие 2015-2022.

2. Какими свойствами обладает ромб?