Номер 131, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 131, страница 32.

Условие 2023.

131. Постройте прямоугольник:

1) по диагонали и разности двух сторон;

2) по периметру и диагонали;

3) по периметру и углу между диагоналями.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по диагонали и разности двух сторон

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$), диагональ равна $d$, а разность сторон равна $k = a-b$. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю, имеем $a^2 + b^2 = d^2$.Возведем в квадрат данное нам равенство $a-b=k$: $(a-b)^2 = k^2$, что равносильно $a^2 - 2ab + b^2 = k^2$.Подставляя $a^2+b^2=d^2$, получаем $d^2 - 2ab = k^2$, откуда $2ab = d^2 - k^2$.Рассмотрим квадрат суммы сторон: $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Подставив известные выражения, получим $(a+b)^2 = d^2 + (d^2-k^2) = 2d^2-k^2$.Таким образом, сумма сторон прямоугольника $S = a+b = \sqrt{2d^2-k^2}$.Для построения отрезка $S$ сначала построим отрезок $m = \sqrt{d^2-k^2}$ как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $d$ и другим катетом $k$. Затем построим отрезок $S = \sqrt{d^2+m^2}$ как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $d$ и $m$.Имея сумму сторон $S=a+b$ и разность сторон $k=a-b$, легко найти сами стороны: $a = \frac{S+k}{2}$ и $b = \frac{S-k}{2}$. Построение этих отрезков сводится к сложению/вычитанию и делению отрезка пополам.

Построение:

1. По данным отрезкам $d$ и $k$ строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетом $k$. Второй катет этого треугольника будет иметь длину $m = \sqrt{d^2-k^2}$. (Это построение возможно, если $d > k$).
2. Строим другой прямоугольный треугольник с катетами $d$ и $m$. Его гипотенуза будет иметь длину $S = \sqrt{d^2+m^2} = \sqrt{2d^2-k^2}$. Этот отрезок равен сумме сторон искомого прямоугольника $a+b$.
3. Строим отрезки, равные $S+k$ и $S-k$.
4. Делим каждый из этих отрезков пополам с помощью циркуля и линейки, получая отрезки $a = \frac{S+k}{2}$ и $b = \frac{S-k}{2}$.
5. Строим прямоугольник по двум известным сторонам $a$ и $b$. Для этого строим прямой угол, на его сторонах откладываем отрезки $a$ и $b$, а затем достраиваем фигуру до прямоугольника.

Ответ: Прямоугольник построен.

2) по периметру и диагонали

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$, периметр $P$, а диагональ $d$. Полупериметр равен $p = P/2 = a+b$.Рассмотрим вспомогательное построение. Пусть $ABCD$ - искомый прямоугольник со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложим отрезок $BE$, равный стороне $BC$. Тогда $AE = AB+BE = a+b = p$.Треугольник $CBE$ является прямоугольным (т.к. $\angle ABC = 90^\circ$, то смежный с ним $\angle CBE = 90^\circ$) и равнобедренным ($CB=BE=b$). Следовательно, угол $\angle CEB = 45^\circ$.Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. В нем известны: сторона $AE = p$, сторона $AC = d$ (диагональ прямоугольника), и угол $\angle AEC = 45^\circ$. Такой треугольник можно построить. После построения треугольника $ACE$, мы можем найти вершину $B$, опустив перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AE$.

Построение:

1. По данному периметру $P$ строим отрезок, равный полупериметру $p=P/2$.
2. Строим отрезок $AE$ длиной $p$.
3. В точке $E$ строим луч под углом $45^\circ$ к отрезку $AE$.
4. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.
5. Точка (или точки) пересечения луча и дуги является вершиной $C$. Если пересечения нет, задача не имеет решения. Выберем одну из точек пересечения.
6. Из точки $C$ опускаем перпендикуляр на прямую $AE$. Основание перпендикуляра есть вершина $B$.
7. Мы получили три вершины прямоугольника $A, B, C$. Достраиваем прямоугольник до четвертой вершины $D$ (например, проведя через $A$ прямую, параллельную $BC$, а через $C$ — прямую, параллельную $AB$).

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как по построению $\angle B=90^\circ$ и диагональ $AC=d$. Периметр равен $2(AB+BC)$. В треугольнике $CBE$ угол $\angle B=90^\circ$ и угол $\angle E = 45^\circ$, значит он равнобедренный, $BC=BE$. Тогда $AB+BC = AB+BE = AE = p$. Периметр равен $2p=P$.

Ответ: Прямоугольник построен.

3) по периметру и углу между диагоналями

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$, периметр $P$ (полупериметр $p=a+b$), а острый угол между диагоналями равен $\alpha$.Пусть $ABCD$ - искомый прямоугольник. Диагонали пересекаются в точке $O$. В равнобедренном треугольнике $OBC$ (образованном половинами диагоналей и стороной $b$) угол при вершине $\angle BOC = \alpha$. Тогда углы при основании $\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, т.е. $\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ$. Так как $\angle BCA = \angle OCB = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, то $\angle BAC = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2}$.Таким образом, угол между диагональю и большей стороной прямоугольника равен половине острого угла между диагоналями.Как и в предыдущей задаче, воспользуемся вспомогательным построением. На продолжении стороны $AB$ отложим отрезок $BE=BC$. Получим отрезок $AE = a+b = p$ и равнобедренный прямоугольный треугольник $CBE$, в котором $\angle CEB = 45^\circ$.Рассмотрим треугольник $ACE$. В нем известны сторона $AE=p$, прилежащий к ней угол $\angle CAE = \angle BAC = \frac{\alpha}{2}$ и другой прилежащий угол $\angle AEC = 45^\circ$. Такой треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим углам.

Построение:

1. По данному периметру $P$ строим отрезок $p=P/2$. По данному углу $\alpha$ строим угол $\frac{\alpha}{2}$ (построением биссектрисы).
2. Строим отрезок $AE$ длиной $p$.
3. От луча $AE$ в одной полуплоскости строим: от точки $A$ - луч под углом $\frac{\alpha}{2}$, от точки $E$ - луч под углом $45^\circ$.
4. Точка пересечения этих лучей является вершиной $C$.
5. Из точки $C$ опускаем перпендикуляр на прямую $AE$. Основание перпендикуляра есть вершина $B$.
6. Мы получили три вершины $A, B, C$. Достраиваем фигуру до прямоугольника $ABCD$.

Доказательство корректности построения аналогично предыдущему пункту. Периметр прямоугольника $ABCD$ равен $2(AB+BC)$. Так как $\triangle CBE$ прямоугольный и равнобедренный ($BC=BE$), то $2(AB+BC) = 2(AB+BE) = 2AE = 2p = P$. Угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ по построению равен $\frac{\alpha}{2}$, что обеспечивает заданный угол $\alpha$ между диагоналями.

Ответ: Прямоугольник построен.

Условие 2015-2022.

131. Постройте прямоугольник:

1) по диагонали и разности двух сторон;

2) по периметру и диагонали;

3) по периметру и углу между диагоналями.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).