Номер 129, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 129, страница 32.

Условие 2023.

129. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, соседние стороны которого не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого соседние стороны не равны ($AB \neq BC$). Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке P, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке Q, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке R, а биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке S. Фигура, образованная пересечением этих биссектрис, — это четырехугольник PQRS. Докажем, что PQRS является прямоугольником.

Для этого достаточно доказать, что все его внутренние углы прямые.

Рассмотрим пересечение биссектрис двух соседних углов параллелограмма, например, $\angle A$ и $\angle B$. Их биссектрисы AP и BP вместе со стороной AB образуют треугольник APB.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника APB справедливо равенство: $\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$.

Поскольку AP и BP — биссектрисы, то $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B$. Подставив это в предыдущее уравнение, получим: $\angle APB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$.

Отсюда можем выразить $\angle APB$: $\angle APB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.

В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Подставим это значение в выражение для угла $\angle APB$: $\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle SPQ$ четырехугольника PQRS является вертикальным к углу $\angle APB$, поэтому они равны: $\angle SPQ = \angle APB = 90^\circ$.

Аналогичные рассуждения можно провести для остальных точек пересечения биссектрис соседних углов:

• Биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются под прямым углом, так как $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Следовательно, $\angle PQR = 90^\circ$.
• Биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ пересекаются под прямым углом, так как $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Следовательно, $\angle QRS = 90^\circ$.
• Биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ пересекаются под прямым углом, так как $\angle D + \angle A = 180^\circ$. Следовательно, $\angle RSP = 90^\circ$.

Таким образом, все четыре угла ($\angle SPQ$, $\angle PQR$, $\angle QRS$, $\angle RSP$) четырехугольника PQRS равны $90^\circ$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Условие, что соседние стороны параллелограмма не равны, важно, так как оно гарантирует, что параллелограмм не является ромбом. Если бы это был ромб, его диагонали были бы биссектрисами углов, и все четыре биссектрисы пересеклись бы в одной точке. В этом случае четырехугольник PQRS выродился бы в точку.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, образованный пересечением биссектрис углов параллелограмма, у которого соседние стороны не равны, является прямоугольником.

Условие 2015-2022.

129. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, у которого соседние стороны не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).