Номер 127, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 127, страница 32.

Условие 2023.

127. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $C$. Таким образом, треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и $AM = MC$.

По условию задачи, $BM : MC = 1 : 2$. Обозначим длину отрезка $BM$ как $x$. Тогда длина отрезка $MC$ будет $2x$.

Из равенства $AM = MC$ следует, что $AM = 2x$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то угол $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABM$ — прямоугольный. Применим к нему теорему Пифагора: $AB^2 + BM^2 = AM^2$.

Подставим известные значения в уравнение: $AB^2 + x^2 = (2x)^2$ $AB^2 + x^2 = 4x^2$ $AB^2 = 3x^2$ $AB = x\sqrt{3}$

Теперь найдем длину стороны $BC$: $BC = BM + MC = x + 2x = 3x$.

Нам нужно найти углы, на которые диагональ $AC$ делит угол прямоугольника, например, угол $\angle BCD$. Эти углы — $\angle BCA$ и $\angle ACD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Мы знаем длины его катетов: $AB = x\sqrt{3}$ и $BC = 3x$. Найдем тангенс угла $\angle BCA$: $\tan(\angle BCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{BC} = \frac{x\sqrt{3}}{3x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle BCA = 30^\circ$.

Угол прямоугольника $\angle BCD = 90^\circ$. Он разделен диагональю на два угла, $\angle BCA$ и $\angle ACD$. Тогда второй угол: $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, диагональ делит угол прямоугольника на углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

Условие 2015-2022.

127. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).