Номер 121, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 121, страница 31.

Условие 2023.

121. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, диагонали образуют равные углы с одной из его сторон. Не теряя общности, выберем сторону $AB$. Тогда угол, который диагональ $AC$ образует со стороной $AB$, равен углу, который диагональ $BD$ образует со стороной $AB$. Запишем это математически: $\angle CAB = \angle DBA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. В этом треугольнике углы при основании $AB$ равны, так как $\angle OAB$ совпадает с $\angle CAB$, а $\angle OBA$ совпадает с $\angle DBA$. Из условия следует, что $\angle OAB = \angle OBA$.

Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный, и его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AO = BO$.

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что длина всей диагонали $AC$ равна $2 \cdot AO$, а длина диагонали $BD$ равна $2 \cdot BO$.

Так как мы установили, что $AO = BO$, то, умножив обе части равенства на 2, получим $2 \cdot AO = 2 \cdot BO$. Отсюда следует, что длины диагоналей равны: $AC = BD$.

Согласно одному из признаков прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Условие 2015-2022.

121. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник $ABCD$ построен так, что две его вершины $A$ и $D$ принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если $AB : BC = 3 : 5$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).