Номер 119, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 119, страница 31.

Условие 2023.

119. Точка $M$ – середина стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$, $MA \perp MD$, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны прямоугольника ABCD равны $AB = CD = x$ и $BC = AD = y$.

По условию, точка M — середина стороны BC. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{y}{2}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ (с прямым углом B) и $\triangle DCM$ (с прямым углом C). У них:

• $AB = CD = x$ (как противоположные стороны прямоугольника).
• $BM = MC = \frac{y}{2}$ (так как M — середина BC).

Так как треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$ равны по двум катетам, то их гипотенузы также равны: $AM = DM$.

По условию $MA \perp MD$, это означает, что угол $\angle AMD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMD$. Поскольку $AM = DM$, он является равнобедренным. А так как угол $\angle AMD = 90^\circ$, то $\triangle AMD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны по $45^\circ$. Следовательно, $\angle MAD = \angle MDA = 45^\circ$.

В прямоугольнике ABCD угол $\angle A = 90^\circ$. Мы можем представить его как сумму двух углов: $\angle DAB = \angle MAB + \angle MAD$.

Подставим известные значения: $90^\circ = \angle MAB + 45^\circ$. Отсюда $\angle MAB = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$. Мы знаем, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle MAB = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $\triangle ABM$ два угла равны, он является равнобедренным, и стороны напротив равных углов равны: $AB = BM$.

Подставляя наши обозначения, получаем: $x = \frac{y}{2}$, или $y = 2x$. Это означает, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$. По условию, $P = 36$ см.

Подставим соотношение $y = 2x$ в формулу периметра:$2(x + 2x) = 36$
$2(3x) = 36$
$6x = 36$
$x = 6$ см.

Теперь найдем вторую сторону:
$y = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

Условие 2015-2022.

119. Точка M – середина стороны BC прямоугольника ABCD, $MA \perp MD$, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).