Номер 118, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 118, страница 31.

Условие 2023.

118. На продолжении диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $B$ отметили точку $E$, а на продолжении за точку $D$ – точку $F$ так, что $BE = DF$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$.

Докажем, что четырёхугольник AECF — параллелограмм

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$ и $AO = OC$, $BO = OD$.

Рассмотрим четырёхугольник $AECF$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $EF$. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Точки $E$, $B$, $O$, $D$, $F$ лежат на одной прямой. Найдём середину диагонали $EF$. Для этого сравним длины отрезков $EO$ и $FO$:

• Отрезок $EO$ состоит из отрезков $EB$ и $BO$, поэтому его длина $EO = EB + BO$.
• Отрезок $FO$ состоит из отрезков $FD$ и $DO$, поэтому его длина $FO = FD + DO$.

Из условия задачи известно, что $BE = DF$. Так как $O$ — середина $BD$, то $BO = DO$. Подставив эти равенства в выражения для $EO$ и $FO$, получаем: $EO = EB + BO = DF + DO = FO$.

Поскольку $EO = FO$, точка $O$ является серединой диагонали $EF$.

Таким образом, диагонали четырёхугольника $AECF$ ($AC$ и $EF$) пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них. По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, $AECF$ — параллелограмм.

Докажем, что параллелограмм AECF не является прямоугольником

Параллелограмм является прямоугольником в том случае, если его диагонали равны. Сравним длины диагоналей $AC$ и $EF$ параллелограмма $AECF$.

Длина диагонали $EF$ равна сумме длин составляющих её отрезков: $EF = EB + BD + DF$.

Так как по условию $BE = DF$, можно записать: $EF = BD + BE + BE = BD + 2 \cdot BE$.

Как мы знаем из свойства прямоугольника $ABCD$, его диагонали равны: $AC = BD$.

Теперь сравним $AC$ и $EF$. Заменим $BD$ на $AC$ в выражении для $EF$: $EF = AC + 2 \cdot BE$.

Поскольку точки $E$ и $F$ лежат на продолжениях диагонали, то $BE > 0$. Следовательно, $2 \cdot BE > 0$.

Это означает, что $EF = AC + 2 \cdot BE > AC$.

Так как диагонали параллелограмма $AECF$ не равны ($EF \neq AC$), он не является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $AECF$ является параллелограммом, диагонали которого не равны, а значит, он не является прямоугольником.

Условие 2015-2022.

118. На продолжении диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $B$ отметили точку $E$, а на продолжении за точку $D$ – точку $F$ так, что $BE = DF$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).