Номер 113, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 113, страница 31.

Условие 2023.

113. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (рис. 46) пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $AOB$ и $AOD$ – равнобедренные.

Рис. 46

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Для доказательства воспользуемся ключевыми свойствами диагоналей прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны друг другу.
То есть, $AC = BD$.

2. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.
Это значит, что точка $O$ является серединой как для диагонали $AC$, так и для диагонали $BD$. Таким образом, мы имеем следующие равенства: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Так как диагонали равны ($AC = BD$), то и их половины равны между собой. Отсюда следует, что все четыре отрезка, образованные пересечением диагоналей, равны:
$AO = BO = CO = OD$.

Теперь на основе этого равенства докажем, что треугольники $AOB$ и $AOD$ являются равнобедренными.

Доказательство для треугольника AOB

Рассмотрим треугольник $AOB$. В этом треугольнике стороны $AO$ и $BO$ равны, так как $AO = BO$ из ранее доказанного. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный.

Доказательство для треугольника AOD

Рассмотрим треугольник $AOD$. В этом треугольнике стороны $AO$ и $DO$ равны, так как $AO = OD$ из ранее доказанного. Следовательно, по определению равнобедренного треугольника, $\triangle AOD$ также является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что оба треугольника, $AOB$ и $AOD$, являются равнобедренными.

Ответ: Что и требовалось доказать. Треугольники $AOB$ и $AOD$ равнобедренные, поскольку их боковые стороны являются половинами равных диагоналей прямоугольника и, следовательно, равны между собой ($AO=BO$ и $AO=DO$).

Условие 2015-2022.

Рис. 46

113. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (рис. 46) пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $AOB$ и $AOD$ – равнобедренные.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).