Номер 4, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 4, страница 30.

Условие 2023.

4. По каким признакам можно установить, что параллелограмм является прямоугольником?

Решение 6 (2023).

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется хотя бы один из следующих признаков:

1. Один из углов параллелограмма — прямой

   Если в параллелограмме есть один прямой угол (равный $90^\circ$), то все остальные его углы также будут прямыми, и такой параллелограмм является прямоугольником.

   Доказательство: Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle A = 90^\circ$. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Также по свойству параллелограмма, противолежащие углы равны: $\angle C = \angle A = 90^\circ$ и $\angle D = \angle B = 90^\circ$. Так как все углы фигуры прямые, по определению это прямоугольник.

   Ответ: Если один из углов параллелограмма равен $90^\circ$, то это прямоугольник.

2. Диагонали параллелограмма равны

   Если диагонали параллелограмма имеют одинаковую длину, то такой параллелограмм является прямоугольником.

   Доказательство: Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них:
   - $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма).
   - $AD$ — общая сторона.
   - $BD = AC$ (по условию).
   Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AD$, значит, их сумма равна $180^\circ$. Так как углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Поскольку в параллелограмме есть прямой угол, он является прямоугольником (по первому признаку).

   Ответ: Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

Условие 2015-2022.

4. По каким признакам можно установить, что параллелограмм является прямоугольником?