Номер 108, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 108, страница 26.

Условие 2023.

108. Прямые, на которых лежат биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$, пересекаются под углом $74^\circ$. Найдите $\angle C$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$. Прямые, на которых лежат биссектрисы, пересекаются, образуя две пары вертикальных углов. Угол между пересекающимися прямыми по определению является острым углом, который в данном случае равен $74^\circ$. Смежный с ним угол будет тупым и равен $180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ $

Поскольку $AK$ и $BM$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно, то:

$ \angle OAB = \frac{1}{2}\angle A $

$ \angle OBA = \frac{1}{2}\angle B $

Подставим эти значения в уравнение для суммы углов треугольника $AOB$:

$ \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AOB = 180^\circ $

$ \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + \angle AOB = 180^\circ $

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому $ \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C $. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$ \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C) + \angle AOB = 180^\circ $

$ 90^\circ - \frac{1}{2}\angle C + \angle AOB = 180^\circ $

Выразим $ \angle AOB $:

$ \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C $

Так как угол $C$ в треугольнике всегда больше нуля, $ \frac{1}{2}\angle C > 0 $, и, следовательно, $ \angle AOB > 90^\circ $. Это означает, что угол $AOB$ является тупым углом, образованным при пересечении биссектрис. Таким образом, $ \angle AOB = 106^\circ $.

Теперь мы можем найти $ \angle C $:

$ 106^\circ = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C $

$ \frac{1}{2}\angle C = 106^\circ - 90^\circ $

$ \frac{1}{2}\angle C = 16^\circ $

$ \angle C = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ $

Ответ: $32^\circ$.

Условие 2015-2022.

108. Прямые, на которых лежат биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$, пересекаются под углом $74^\circ$. Найдите $\angle C$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).