Номер 106, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 106, страница 26.

Условие 2023.

106. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;

2) по двум диагоналям и высоте;

3) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Решение 2 (2023).

Решение 5 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали

Пусть заданы отрезки, равные стороне $a$, высоте $h_a$, проведенной к этой стороне, и диагонали $d$.

Алгоритм построения:

1. Построить две параллельные прямые $m$ и $n$ на расстоянии $h_a$ друг от друга.
2. На прямой $m$ выбрать произвольную точку $A$ — одну из вершин будущего параллелограмма.
3. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$. Точку ее пересечения с прямой $m$ обозначить $B$. Отрезок $AB$ — это сторона параллелограмма.
4. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$. Точка ее пересечения с прямой $n$ будет третьей вершиной параллелограмма. Обозначим ее $C$. (Построение возможно, если $d \ge h_a$. Если $d > h_a$, существует два возможных положения для точки $C$, симметричных относительно перпендикуляра к $m$, проведенного через $A$. Выберем одно из них).
5. Через точку $C$ провести прямую, параллельную $AB$ (это прямая $n$), и отложить на ней от точки $C$ отрезок $CD$, равный $a$, так, чтобы векторы $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ были равны.
6. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым параллелограммом.

2) по двум диагоналям и высоте

Пусть заданы отрезки, равные диагоналям $d_1$ и $d_2$, и высоте $h$.

Алгоритм построения:

1. Построить две параллельные прямые $m$ и $n$ на расстоянии $h$ друг от друга.
2. На прямой $m$ выбрать произвольную точку $A$.
3. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$. Точку ее пересечения с прямой $n$ обозначить $C$. Отрезок $AC$ — первая диагональ искомого параллелограмма. (Построение возможно, если $d_1 \ge h$).
4. Найти точку $O$ — середину отрезка $AC$. Эта точка является центром симметрии параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей.
5. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $d_2/2$.
6. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ и прямой $n$ являются оставшимися двумя вершинами параллелограмма, $B$ и $D$. (Построение возможно, если $d_2/2 \ge h/2$, то есть $d_2 \ge h$).
7. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, так как его диагонали по построению пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым параллелограммом.

3) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам

Пусть задан острый угол $\alpha$ и отрезки, равные высотам $h_a$ и $h_b$, проведенным к соседним сторонам.

Алгоритм построения:

1. Построить угол, равный $\alpha$. Обозначим его вершину $A$, а стороны (лучи) — $m$ и $n$. На этих лучах будут лежать смежные стороны параллелограмма.
2. Внутри угла построить прямую $p$, параллельную лучу $n$ и находящуюся от него на расстоянии $h_a$.
3. Точку пересечения прямой $p$ и луча $m$ обозначить $D$. Отрезок $AD$ — одна из сторон искомого параллелограмма.
4. Внутри угла построить прямую $q$, параллельную лучу $m$ и находящуюся от него на расстоянии $h_b$.
5. Точку пересечения прямой $q$ и луча $n$ обозначить $B$. Отрезок $AB$ — вторая смежная сторона искомого параллелограмма.
6. Для нахождения четвертой вершины $C$ построить прямую, проходящую через $D$ параллельно $AB$, и прямую, проходящую через $B$ параллельно $AD$. Точка их пересечения и будет вершиной $C$.
7. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, так как его противоположные стороны по построению параллельны, $\angle DAB = \alpha$, а высоты, опущенные из вершин $D$ и $B$ на противолежащие стороны, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым параллелограммом.

Условие 2015-2022.

106. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $CDEF$ проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны $CD$ и $EF$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая – стороны $DE$ и $CF$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AMBK$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).