Номер 104, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 104, страница 26.

Условие 2023.

104. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $CDEF$ проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны $CD$ и $EF$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая – стороны $DE$ и $CF$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AMBK$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $CDEF$. По свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам, следовательно, $CO=OE$ и $DO=OF$. Также по определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны: $CD \parallel EF$ и $DE \parallel CF$.

Чтобы доказать, что четырехугольник $AMBK$ является параллелограммом, воспользуемся соответствующим признаком: четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали четырехугольника $AMBK$ — это отрезки $AB$ и $MK$, которые по условию задачи пересекаются в точке $O$. Докажем, что точка $O$ является серединой для каждой из этих диагоналей.

Рассмотрим треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOE$. Так как $CD \parallel EF$, то углы $∠ACO$ и $∠BEO$ равны как накрест лежащие углы при секущей $CE$. Углы $∠AOC$ и $∠BOE$ равны как вертикальные. Стороны $CO$ и $OE$ равны, поскольку $O$ — середина диагонали $CE$. Следовательно, треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $AO = OB$.

Аналогично рассмотрим треугольники $ΔMDO$ и $ΔKFO$. Так как $DE \parallel CF$, то углы $∠MDO$ и $∠KFO$ равны как накрест лежащие углы при секущей $DF$. Углы $∠MOD$ и $∠KOF$ равны как вертикальные. Стороны $DO$ и $OF$ равны, поскольку $O$ — середина диагонали $DF$. Следовательно, треугольники $ΔMDO$ и $ΔKFO$ равны по второму признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $MO = OK$.

Мы установили, что диагонали четырехугольника $AMBK$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OB$ и $MO = OK$). Таким образом, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AMBK$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $AMBK$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

104. Биссектрисы углов $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его диагональ $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).