Номер 103, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 103, страница 26.

Условие 2023.

103. Через середину $O$ диагонали $NP$ параллелограмма $MNKP$ проведена прямая, пересекающая стороны $MN$ и $KP$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ANBP$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырёхугольник $ANBP$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим четырёхугольник $ANBP$. Его диагоналями являются отрезки $AB$ и $NP$. По условию задачи, точка $O$ — середина диагонали $NP$ исходного параллелограмма $MNKP$. Это означает, что $NO = OP$.

Также по условию, прямая, на которой лежат точки $A$ и $B$, проходит через точку $O$. Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения диагоналей $AB$ и $NP$ четырёхугольника $ANBP$.

Чтобы доказать, что $ANBP$ — параллелограмм, нам осталось показать, что вторая диагональ, $AB$, также делится точкой $O$ пополам, то есть что $AO = BO$. Для этого докажем равенство треугольников $\triangle AON$ и $\triangle BOP$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOP$:

1. $NO = OP$, так как $O$ — середина диагонали $NP$ по условию.
2. $\angle AON = \angle BOP$ как вертикальные углы.
3. Так как $MNKP$ — параллелограмм, его противоположные стороны $MN$ и $KP$ параллельны ($MN \parallel KP$). Тогда углы $\angle ONA$ и $\angle OPB$ (или $\angle MNP$ и $\angle KPN$) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $MN$ и $KP$ секущей $NP$. Следовательно, $\angle ONA = \angle OPB$.

Таким образом, треугольник $\triangle AON$ равен треугольнику $\triangle BOP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AO$ треугольника $\triangle AON$ соответствует стороне $BO$ треугольника $\triangle BOP$, значит, $AO = BO$.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $ANBP$ диагонали $AB$ и $NP$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO = BO$ и $NO = OP$). Следовательно, четырёхугольник $ANBP$ является параллелограммом по соответствующему признаку.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

103. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $BM$ и $DK$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).