Номер 97, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 97, страница 25.

Условие 2023.

97. На рисунке 39 четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, $\angle BCP = \angle DAE$. Докажите, что четырёхугольник $APCE$ – параллелограмм.

Рис. 39

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Чтобы доказать, что четырехугольник $APCE$ является параллелограммом, мы воспользуемся признаком параллелограмма, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Мы докажем, что $AE = CP$ и $AP = CE$.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle CBP $.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, $AD = BC$ и $AD \parallel BC$.

Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то углы $ \angle ADB $ и $ \angle CBD $ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$. Следовательно, $ \angle ADE = \angle CBP $.

По условию задачи нам дано, что $ \angle DAE = \angle BCP $.

Таким образом, для треугольников $ \triangle ADE $ и $ \triangle CBP $ мы имеем:
– $AD = BC$ (как противоположные стороны параллелограмма),
– $ \angle ADE = \angle CBP $ (как накрест лежащие углы),
– $ \angle DAE = \angle BCP $ (по условию).
Следовательно, $ \triangle ADE \cong \triangle CBP $ по стороне и двум углам (признак AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AE = CP$ и $DE = BP$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABP $ и $ \triangle CDE $.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, углы $ \angle ABD $ и $ \angle CDB $ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $BD$. Следовательно, $ \angle ABP = \angle CDE $.

Из первого шага мы знаем, что $BP = DE$.

Таким образом, для треугольников $ \triangle ABP $ и $ \triangle CDE $ мы имеем:
– $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма),
– $ \angle ABP = \angle CDE $ (как накрест лежащие углы),
– $BP = DE$ (из доказанного ранее).
Следовательно, $ \triangle ABP \cong \triangle CDE $ по двум сторонам и углу между ними (признак SAS). Из равенства треугольников следует, что $AP = CE$.

Мы доказали, что в четырехугольнике $APCE$ противоположные стороны попарно равны ($AE = CP$ и $AP = CE$). По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $APCE$ — параллелограмм.

Условие 2015-2022.

97. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 38) отложены равные отрезки $AM$, $BK$, $CE$ и $DF$. Докажите, что четырёхугольник $MKEF$ – параллелограмм.

Рис. 38

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).