Номер 92, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 92, страница 24.

Условие 2023.

92. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$.

Из свойства диагоналей параллелограмма следует, что $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. То есть, справедливы равенства: $AO = OC$ и $BO = OD$.

По условию задачи, на диагонали $AC$ выбраны точки $M$ и $K$ таким образом, что $AM = CK$.

Рассмотрим расположение точек $M$ и $K$ относительно центра $O$. Поскольку точки $M$ и $K$ отложены на равные расстояния от вершин $A$ и $C$ соответственно, а точка $O$ является центром симметрии для отрезка $AC$, то она также будет центром симметрии для отрезка $MK$.

Докажем это математически. Найдем длины отрезков $OM$ и $OK$. Предполагая, что точка $M$ лежит на отрезке $AO$, а точка $K$ — на отрезке $OC$ (стандартное расположение в таких задачах), мы можем записать:
$OM = AO - AM$
$OK = OC - CK$

Поскольку мы знаем, что $AO = OC$ и, по условию, $AM = CK$, мы можем заключить, что правые части этих двух выражений равны. Следовательно, равны и левые части:
$OM = OK$

Теперь рассмотрим четырехугольник $MBKD$. Его диагоналями являются отрезки $MK$ и $BD$. Мы установили, что точка $O$ является серединой обеих этих диагоналей:
1. $BO = OD$ (из свойства параллелограмма $ABCD$).
2. $OM = OK$ (как было доказано выше).

Таким образом, диагонали четырехугольника $MBKD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $MBKD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом, так как его диагонали $BD$ и $MK$ в точке своего пересечения делятся пополам.

Условие 2015-2022.

92. Отрезок $AO$ — медиана треугольника $ABD$, отрезок $BO$ — медиана треугольника $ABC$ (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 35

Рис. 36

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).