Номер 88, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 88, страница 24.

Условие 2023.

88. Отрезок $AO$ – медиана треугольника $ABD$, отрезок $BO$ – медиана треугольника $ABC$ (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

Рис. 36

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O, как показано на рисунке.

1. По условию задачи, отрезок AO является медианой треугольника ABD. По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана AO выходит из вершины A к стороне BD. Следовательно, точка O является серединой стороны BD. Это означает, что длины отрезков BO и OD равны:

$BO = OD$

2. Также по условию, отрезок BO является медианой треугольника ABC. Эта медиана выходит из вершины B к стороне AC. Следовательно, точка O является серединой стороны AC. Это означает, что длины отрезков AO и OC равны:

$AO = OC$

3. Таким образом, в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая делит каждую из этих диагоналей пополам.

4. Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Поскольку для четырехугольника ABCD это условие выполняется, мы можем заключить, что ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Условие 2015-2022.

88. Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ являются диаметрами окружности. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).