Номер 84, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 84, страница 20.

Условие 2023.

84. Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ являются диаметрами окружности. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ являются диаметрами этой окружности, они проходят через центр $O$ и делятся им пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

В этих треугольниках:

1. $AO = CO$, так как оба отрезка являются радиусами окружности.

2. $BO = DO$, так как оба отрезка также являются радиусами окружности.

3. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COD$ как вертикальные углы, образованные при пересечении диагоналей $AC$ и $BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. В частности, $\angle OAB = \angle OCD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Поскольку накрест лежащие углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны по признаку параллельности прямых.

Таким образом, доказано, что $AB \parallel CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

84. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ вне его построены равносторонние треугольники $ABM$ и $BCK$. Докажите, что треугольник $MKD$ – равносторонний.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).