Номер 83, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 83, страница 20.

Условие 2023.

83. Сколько существует неравных между собой:

1) прямоугольных треугольников со стороной 5 см и углом $45^\circ$;

2) равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом $30^\circ$;

3) прямоугольных треугольников со стороной 7 см и углом $60^\circ$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) прямоугольных треугольников со стороной 5 см и углом 45°

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Если другой угол равен $45^\circ$, то третий угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник является равнобедренным, его катеты равны, а углы при гипотенузе равны $45^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая для стороны длиной 5 см:

Случай 1: Сторона 5 см является катетом.
Поскольку треугольник равнобедренный, второй катет также равен 5 см. Гипотенузу $c$ можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см. Мы получили треугольник со сторонами 5, 5 и $5\sqrt{2}$ см. Это один уникальный треугольник.

Случай 2: Сторона 5 см является гипотенузой.
Пусть катеты равны $a$. По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = 5^2$, или $2a^2 = 25$. Отсюда $a^2 = 12.5$, и $a = \sqrt{12.5} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см. Мы получили треугольник со сторонами $\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ и 5 см. Это второй уникальный треугольник.

Эти два треугольника не равны между собой, так как у них разные длины сторон.

Ответ: 2.

2) равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом 30°

В равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла при основании равны. Рассмотрим возможные варианты расположения угла $30^\circ$ и стороны 6 см.

Случай 1: Угол $30^\circ$ является углом при вершине (между равными сторонами).
Тогда два других угла (углы при основании) равны и их сумма составляет $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Каждый из них равен $150^\circ / 2 = 75^\circ$. Углы треугольника: $30^\circ, 75^\circ, 75^\circ$.
а) Сторона 6 см — это одна из равных боковых сторон. Тогда стороны треугольника равны 6, 6, а основание можно найти по теореме косинусов. Это первый уникальный треугольник.
б) Сторона 6 см — это основание (противолежит углу $30^\circ$). Боковые стороны $a$ равны. По теореме синусов: $\frac{a}{\sin(75^\circ)} = \frac{6}{\sin(30^\circ)}$. Отсюда $a = \frac{6 \sin(75^\circ)}{1/2} = 12\sin(75^\circ)$. Это второй уникальный треугольник.

Случай 2: Угол $30^\circ$ является одним из углов при основании.
Тогда второй угол при основании также равен $30^\circ$. Угол при вершине равен $180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. Углы треугольника: $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$.
а) Сторона 6 см — это боковая сторона (противолежит углу $30^\circ$). Тогда вторая боковая сторона тоже 6 см. Основание $b$ (противолежит углу $120^\circ$) можно найти по теореме косинусов: $b^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) = 72 - 72(-\frac{1}{2}) = 108$. $b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см. Это третий уникальный треугольник.
б) Сторона 6 см — это основание (противолежит углу $120^\circ$). Боковые стороны $a$ равны. По теореме синусов: $\frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(120^\circ)}$. Отсюда $a = \frac{6 \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{6 \cdot (1/2)}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Это четвертый уникальный треугольник.

Все четыре полученных треугольника не равны между собой, так как они либо имеют разные наборы углов, либо, при одинаковых углах, данная сторона 6 см противолежит разным углам.

Ответ: 4.

3) прямоугольных треугольников со стороной 7 см и углом 60°

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Если другой угол равен $60^\circ$, то третий угол равен $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Мы имеем дело с треугольником, углы которого равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Пусть катет, противолежащий углу $30^\circ$, равен $a$. Тогда катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен $a\sqrt{3}$, а гипотенуза равна $2a$.

Рассмотрим три возможных случая для стороны длиной 7 см:

Случай 1: Сторона 7 см является катетом, противолежащим углу $30^\circ$.
Тогда $a = 7$ см. Второй катет равен $7\sqrt{3}$ см, а гипотенуза равна $2 \cdot 7 = 14$ см. Стороны: 7, $7\sqrt{3}$, 14. Это один уникальный треугольник.

Случай 2: Сторона 7 см является катетом, противолежащим углу $60^\circ$.
Тогда $a\sqrt{3} = 7$, откуда $a = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ см. Это катет, противолежащий углу $30^\circ$. Гипотенуза равна $2a = \frac{14\sqrt{3}}{3}$ см. Стороны: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$, 7, $\frac{14\sqrt{3}}{3}$. Это второй уникальный треугольник.

Случай 3: Сторона 7 см является гипотенузой (противолежит углу $90^\circ$).
Тогда $2a = 7$, откуда $a = 3.5$ см. Это катет, противолежащий углу $30^\circ$. Второй катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен $a\sqrt{3} = 3.5\sqrt{3}$ см. Стороны: 3.5, $3.5\sqrt{3}$, 7. Это третий уникальный треугольник.

Все три треугольника имеют разные наборы длин сторон и, следовательно, не равны друг другу.

Ответ: 3.

Условие 2015-2022.

83. Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).