Номер 82, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 82, страница 20.

Условие 2023.

82. Отрезок $AB$ равен 24 см. Точка $C$ принадлежит прямой $AB$, причём $BC = 5AC$. На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AB = 4BD$. Найдите отрезок $CD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи сначала определим положение точки D на отрезке AB, а затем рассмотрим все возможные случаи расположения точки C на прямой AB.

1. Нахождение положения точки D

По условию, точка D принадлежит отрезку AB и $AB = 4BD$. Длина отрезка $AB$ равна 24 см.

Найдем длину отрезка $BD$:

$BD = \frac{AB}{4} = \frac{24}{4} = 6$ см.

Поскольку D лежит на отрезке AB, мы можем найти расстояние от точки A до точки D:

$AD = AB - BD = 24 - 6 = 18$ см.

2. Нахождение положения точки C и вычисление длины отрезка CD

Точка C принадлежит прямой AB, что допускает три возможных варианта ее расположения относительно отрезка AB. Рассмотрим каждый из них, используя условие $BC = 5AC$.

Случай 1: Точка C лежит между точками A и B.

Если C находится на отрезке AB, то выполняется равенство $AB = AC + BC$.

Подставим в это равенство известные данные: $AB = 24$ и $BC = 5AC$.

$24 = AC + 5AC$

$24 = 6AC$

$AC = \frac{24}{6} = 4$ см.

Мы знаем, что $AD = 18$ см и $AC = 4$ см. Так как обе точки C и D лежат на отрезке AB и $AC < AD$, то точка C находится между A и D. Тогда длина отрезка CD равна разности длин отрезков AD и AC.

$CD = AD - AC = 18 - 4 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Случай 2: Точка A лежит между точками C и B.

В этом случае точки на прямой располагаются в последовательности C-A-B. Тогда выполняется равенство $CB = CA + AB$.

Подставим в это равенство известные данные: $BC = 5AC$ (где $CB=BC$ и $CA=AC$) и $AB = 24$.

$5AC = AC + 24$

$4AC = 24$

$AC = \frac{24}{4} = 6$ см.

В этом случае точка C находится на прямой AB левее точки A. Точка D находится на отрезке AB. Порядок точек на прямой: C-A-D-B. Длина отрезка CD равна сумме длин отрезков CA и AD.

$CD = CA + AD = 6 + 18 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

Случай 3: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае точки на прямой располагаются в последовательности A-B-C. Тогда выполняется равенство $AC = AB + BC$.

Подставим известные данные: $AB = 24$ и $BC = 5AC$.

$AC = 24 + 5AC$

$-4AC = 24$

$AC = -6$ см.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, данный случай невозможен.

Условие 2015-2022.

82. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ опущен перпендикуляр $BE$ на диагональ $AC$. Через точку $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $AD$, а через точку $C$ - прямая $n$, перпендикулярная прямой $CD$. Докажите, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).