Номер 79, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 79, страница 20.

Условие 2023.

79. Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Задача состоит в построении параллелограмма по заданной стороне $a$, сумме диагоналей $S = d_1 + d_2$ и углу между диагоналями $\alpha$.

Анализ

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Обозначим точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ через $O$. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = \frac{1}{2}AC$ и $BO = \frac{1}{2}BD$.

По условию, нам даны:

1. Сторона, пусть это будет $AB = a$.

2. Сумма диагоналей $AC + BD = S$.

3. Угол между диагоналями, пусть $\angle AOB = \alpha$.

Из этих условий следует, что сумма половин диагоналей равна $AO + BO = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{S}{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$, в котором известны сторона $AB=a$, противолежащий ей угол $\angle AOB = \alpha$ и сумма двух других сторон $AO+BO = S/2$.

Для построения такого треугольника применим метод вспомогательного треугольника. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OK$, равный $AO$. Тогда отрезок $BK$ будет равен $BO + OK = BO + AO = S/2$.

Рассмотрим треугольник $AOK$. Он является равнобедренным, так как по построению $OK = AO$. Угол $\angle AOK$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому $\angle AOK = 180^\circ - \alpha$. Углы при основании равнобедренного треугольника $AOK$ равны: $\angle OAK = \angle OKA = \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. В нем мы знаем:

• сторону $BK = S/2$;

• сторону $AB = a$;

• угол $\angle AKB = \alpha/2$, который противолежит стороне $AB$.

Треугольник $ABK$ можно построить по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. После того как треугольник $ABK$ будет построен, можно найти положение точки $O$. Точка $O$ лежит на отрезке $BK$ и по построению равноудалена от точек $A$ и $K$ ($OA=OK$). Следовательно, $O$ является точкой пересечения отрезка $BK$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AK$.

Найдя вершины $A$, $B$ и точку пересечения диагоналей $O$, мы можем легко достроить параллелограмм, используя свойство, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Построение

Пусть даны отрезок $a$, отрезок $S$ и угол $\alpha$.

1. Делим пополам отрезок $S$, получаем отрезок $S/2$. Для этого строим серединный перпендикуляр к $S$.

2. Делим пополам угол $\alpha$, получаем угол $\alpha/2$. Для этого строим биссектрису угла $\alpha$.

3. Строим вспомогательный треугольник $ABK$:

a) Проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $BK$, равный $S/2$.

b) От луча $KB$ строим угол $\angle BKX$, равный $\alpha/2$.

c) Проводим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$.

d) Точка $A$ — это точка пересечения окружности и луча $KX$. (В зависимости от данных, может быть одно, два или ни одного решения).

4. Соединяем точки $A$ и $K$. Построен треугольник $ABK$.

5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AK$.

6. Точка $O$ — это точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка $BK$.

7. Проводим прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OC = AO$ так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.

8. Проводим прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OD = BO$ так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.

9. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство

По построению, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$ и $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ является параллелограммом.

Сторона $AB$ этого параллелограмма по построению равна $a$.

Найдем угол между диагоналями $\angle AOB$. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AK$, значит, $AO=OK$. Треугольник $AOK$ — равнобедренный. Угол $\angle AKB = \angle OKA$ по построению равен $\alpha/2$. Следовательно, $\angle OAK = \angle OKA = \alpha/2$. Тогда угол при вершине $\angle AOK = 180^\circ - (\angle OAK + \angle OKA) = 180^\circ - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^\circ - \alpha$. Угол $\angle AOB$ является смежным с углом $\angle AOK$, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - \angle AOK = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.

Найдем сумму диагоналей. Сумма диагоналей $AC + BD = 2AO + 2BO = 2(AO+BO)$. Поскольку $AO=OK$ и точка $O$ лежит на отрезке $BK$, то $AO+BO = OK+BO = BK$. По построению, $BK = S/2$. Следовательно, $AC+BD = 2 \cdot (S/2) = S$.

Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ имеет сторону $a$, сумму диагоналей $S$ и угол между ними $\alpha$, что и требовалось.

Исследование

Решение задачи зависит от возможности построения вспомогательного треугольника $ABK$ на шаге 3. Этот треугольник строится по двум сторонам ($BK=S/2$, $AB=a$) и углу, противолежащему стороне $AB$ ($\angle AKB = \alpha/2$).

Построение возможно, если окружность с центром $B$ и радиусом $a$ пересечет луч $KX$. Расстояние от точки $B$ до прямой $KX$ равно $h = BK \cdot \sin(\angle BKX) = \frac{S}{2}\sin(\frac{\alpha}{2})$.

• Если $a < \frac{S}{2}\sin(\frac{\alpha}{2})$, то окружность не пересекает луч $KX$, и решений нет.

• Если $a = \frac{S}{2}\sin(\frac{\alpha}{2})$, то окружность касается луча $KX$, и задача имеет одно решение (треугольник $ABK$ будет прямоугольным).

• Если $\frac{S}{2}\sin(\frac{\alpha}{2}) < a < \frac{S}{2}$, то окружность пересекает луч $KX$ в двух точках, и задача имеет два различных решения.

• Если $a \ge \frac{S}{2}$, то окружность пересекает луч $KX$ в одной точке (вторая точка пересечения лежит не на луче), и задача имеет одно решение.

Также необходимым условием является $\alpha < 180^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения и исследование числа решений представлены выше.

Условие 2015-2022.

79. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ существует такая точка $M$, что $BM = MD = CD$. Найдите углы параллелограмма, если $AD = BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).