Номер 73, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 73, страница 19.

Условие 2023.

73. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Возьмём на основании $AC$ произвольную точку $D$. Через точку $D$ проведём прямую, параллельную стороне $AB$, которая пересечёт сторону $BC$ в точке $E$. Получим $DE \parallel AB$. Также через точку $D$ проведём прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечёт сторону $AB$ в точке $F$. Получим $DF \parallel BC$.

Рассмотрим образовавшийся четырёхугольник $BFDE$. По построению его противолежащие стороны попарно параллельны ($DE \parallel FB$ и $DF \parallel EB$), следовательно, $BFDE$ — параллелограмм.

Периметр параллелограмма $BFDE$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P_{BFDE} = BF + FD + DE + EB$.

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$. Так как $DF \parallel BC$, то $\angle FDA = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AC$. Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то получаем, что $\angle FDA = \angle BAC$. Угол $\angle FAD$ треугольника $AFD$ совпадает с углом $\angle BAC$. Таким образом, в треугольнике $AFD$ два угла равны: $\angle FAD = \angle FDA$. Это означает, что треугольник $AFD$ — равнобедренный, и его стороны, лежащие против равных углов, равны: $AF = FD$.

Аналогично рассмотрим треугольник $DEC$. Так как $DE \parallel AB$, то $\angle EDC = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то $\angle EDC = \angle BCA$. Угол $\angle ECD$ треугольника $DEC$ совпадает с углом $\angle BCA$. Таким образом, в треугольнике $DEC$ два угла равны: $\angle ECD = \angle EDC$. Это означает, что треугольник $DEC$ — равнобедренный, и его стороны, лежащие против равных углов, равны: $DE = EC$.

Подставим найденные равенства $FD = AF$ и $DE = EC$ в формулу периметра четырёхугольника $BFDE$: $P_{BFDE} = BF + FD + DE + EB = BF + AF + EC + EB$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{BFDE} = (BF + AF) + (EC + EB)$. Выражение в первых скобках, $BF + AF$, представляет собой длину боковой стороны $AB$. Выражение во вторых скобках, $EC + EB$, представляет собой длину боковой стороны $BC$. Следовательно, $P_{BFDE} = AB + BC$.

Таким образом, доказано, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Условие 2015-2022.

73. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).