Номер 69, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 69, страница 19.

Условие 2023.

69. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, в котором $\angle A$ и $\angle C$ — острые, а $\angle B$ и $\angle D$ — тупые. Обозначим величину острого угла, например $\angle A$, как $\alpha$.

По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, тупой угол $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha$.

Проведём из вершины тупого угла $B$ две высоты: $BH_1$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и $BH_2$ к прямой, содержащей сторону $CD$. Искомый угол — это $\angle H_1BH_2$.

По определению высоты, $BH_1 \perp AD$ и $BH_2 \perp CD$. Это означает, что углы $\angle BH_1D$ и $\angle BH_2D$ прямые, то есть $\angle BH_1D = 90^\circ$ и $\angle BH_2D = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BH_1DH_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$: $ \angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle H_1DH_2 + \angle DH_2B = 360^\circ $

Угол $\angle H_1DH_2$ этого четырехугольника — это угол при вершине $D$ параллелограмма, так как он образован прямыми $AD$ и $CD$. Таким образом, $\angle H_1DH_2 = \angle D = 180^\circ - \alpha$.

Подставим известные значения углов в уравнение для четырехугольника $BH_1DH_2$: $ \angle H_1BH_2 + 90^\circ + (180^\circ - \alpha) + 90^\circ = 360^\circ $

Упростим выражение: $ \angle H_1BH_2 + 360^\circ - \alpha = 360^\circ $

Отсюда находим искомый угол между высотами: $ \angle H_1BH_2 = \alpha $

Таким образом, доказано, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу этого параллелограмма.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

69. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).