Номер 64, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 64, страница 19.

Условие 2023.

64. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите периметр данного параллелограмма, если $AB = 12$ см, $MC = 16$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. $AM$ — биссектриса угла $A$, точка $M$ лежит на стороне $BC$. Нам известны длины $AB = 12$ см и $MC = 16$ см.

1. По определению биссектрисы угла, $AM$ делит угол $BAD$ на два равных угла: $∠BAM = ∠MAD$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $∠MAD$ и $∠BMA$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$. Следовательно, эти углы равны: $∠MAD = ∠BMA$.

3. Из равенств $∠BAM = ∠MAD$ и $∠MAD = ∠BMA$ следует, что $∠BAM = ∠BMA$.

4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как два его угла ($∠BAM$ и $∠BMA$) равны, то треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BM$.

5. По условию задачи $AB = 12$ см, значит, и $BM = 12$ см.

6. Сторона $BC$ параллелограмма состоит из двух отрезков: $BM$ и $MC$. Найдем ее длину:

$BC = BM + MC = 12$ см $+ 16$ см $= 28$ см.

7. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Смежными сторонами являются $AB$ и $BC$.

$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)$

$P_{ABCD} = 2 \cdot (12 + 28) = 2 \cdot 40 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

Условие 2015-2022.

64. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите периметр данного параллелограмма, если $AB = 12$ см, $MC = 16$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).