Номер 61, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 61, страница 19.

Условие 2023.

61. Вне параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная его диагонали $BD$. Эта прямая пересекает прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $E$, $M$, $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что $MK = EF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Данное утверждение является аффинным свойством геометрической фигуры, то есть оно сохраняется при аффинных преобразованиях плоскости. Аффинное преобразование переводит параллелограмм в любой другой параллелограмм (в частности, в квадрат), прямые в прямые, сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, для доказательства утверждения в общем виде для произвольного параллелограмма достаточно доказать его для более простого частного случая, когда параллелограмм $ABCD$ является квадратом.

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $b$. Расположим его в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $A(0, 0)$, $B(b, 0)$, $C(b, b)$ и $D(0, b)$.

Уравнение прямой, содержащей диагональ $BD$, которая соединяет точки $B(b, 0)$ и $D(0, b)$, имеет вид $x+y=b$.

В условии задачи дана прямая, параллельная диагонали $BD$. Обозначим эту прямую как $l$. Ее уравнение будет иметь вид $x+y=c$ для некоторой константы $c$. Так как прямая проведена вне параллелограмма, она не пересекает его внутреннюю область.

Теперь найдем координаты точек пересечения прямой $l$ с прямыми, на которых лежат стороны квадрата:

• Точка $E$ — пересечение прямой $l$ ($x+y=c$) и прямой $AB$ ($y=0$). Подставляя $y=0$ в уравнение прямой $l$, получаем $x_E+0=c$, откуда $x_E=c$. Координаты точки $E(c, 0)$.
• Точка $M$ — пересечение прямой $l$ ($x+y=c$) и прямой $BC$ ($x=b$). Подставляя $x=b$ в уравнение прямой $l$, получаем $b+y_M=c$, откуда $y_M=c-b$. Координаты точки $M(b, c-b)$.
• Точка $F$ — пересечение прямой $l$ ($x+y=c$) и прямой $CD$ ($y=b$). Подставляя $y=b$ в уравнение прямой $l$, получаем $x_F+b=c$, откуда $x_F=c-b$. Координаты точки $F(c-b, b)$.
• Точка $K$ — пересечение прямой $l$ ($x+y=c$) и прямой $AD$ ($x=0$). Подставляя $x=0$ в уравнение прямой $l$, получаем $0+y_K=c$, откуда $y_K=c$. Координаты точки $K(0, c)$.

Для того чтобы доказать, что $MK = EF$, вычислим квадраты длин этих отрезков, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Найдем квадрат длины отрезка $MK$:$MK^2 = (x_K-x_M)^2 + (y_K-y_M)^2 = (0-b)^2 + (c-(c-b))^2 = (-b)^2 + (b)^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$.

Найдем квадрат длины отрезка $EF$:$EF^2 = (x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2 = ((c-b)-c)^2 + (b-0)^2 = (-b)^2 + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$.

Мы получили, что $MK^2 = 2b^2$ и $EF^2 = 2b^2$. Так как квадраты длин отрезков равны, то равны и сами длины (поскольку длина не может быть отрицательной): $MK = EF$.

Поскольку мы доказали утверждение для частного случая квадрата, оно справедливо для любого параллелограмма.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

61. Вне параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная его диагонали $BD$, которая пересекает прямые $AB, BC, CD$ и $AD$ в точках $E, M, F$ и $K$ соответственно. Докажите, что $MK = EF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).