Номер 68, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 68, страница 19.

Условие 2023.

68. Угол между высотой $BH$ параллелограмма $ABCD$ и биссектрисой $BM$ угла $ABC$ равен $24^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AD$, а $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Угол между ними, $\angle HBM$, равен $24^\circ$.

По определению высоты, $BH$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $BH \perp AD$. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, значит $BC \parallel AD$. Прямая $BH$, перпендикулярная $AD$, будет также перпендикулярна и параллельной ей прямой $BC$. Следовательно, $BH \perp BC$, и угол $\angle HBC = 90^\circ$.

Луч $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому он делит этот угол на два равных угла: $\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2}\angle ABC$.

Рассмотрим взаимное расположение лучей $BC$, $BM$ и $BH$, выходящих из вершины $B$. Существует два возможных случая.

Случай 1: Биссектриса $BM$ находится между стороной $BC$ и высотой $BH$.В этом случае угол $\angle HBC$ является суммой углов $\angle HBM$ и $\angle CBM$.$\angle HBC = \angle HBM + \angle CBM$.Подставим известные значения:$90^\circ = 24^\circ + \angle CBM$.Отсюда находим $\angle CBM$:$\angle CBM = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$.Поскольку $BM$ — биссектриса, то угол $\angle ABC$ в два раза больше угла $\angle CBM$:$\angle ABC = 2 \cdot \angle CBM = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$.Такой угол может быть углом параллелограмма, поэтому этот случай является возможным решением.

Случай 2: Высота $BH$ находится между стороной $BC$ и биссектрисой $BM$.В этом случае угол $\angle CBM$ является суммой углов $\angle CBH$ и $\angle HBM$.$\angle CBM = \angle CBH + \angle HBM$.Подставим известные значения:$\angle CBM = 90^\circ + 24^\circ = 114^\circ$.Тогда угол $\angle ABC$ будет равен:$\angle ABC = 2 \cdot \angle CBM = 2 \cdot 114^\circ = 228^\circ$.Внутренний угол выпуклого четырехугольника, каким является параллелограмм, не может быть больше $180^\circ$. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, верен только первый случай. Один из углов параллелограмма равен $132^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle B = \angle D = 132^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Отсюда находим два других угла: $\angle A = \angle C = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.

Ответ: углы параллелограмма равны $48^\circ$, $132^\circ$, $48^\circ$, $132^\circ$.

Условие 2015-2022.

68. Угол между высотой $BH$ параллелограмма $ABCD$ и биссектрисой $BM$ угла $ABC$ равен $24^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).