Номер 72, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 72, страница 19.

Условие 2023.

72. Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол $150^\circ$, стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см. Найдите высоты параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 18$ см и $b = 10$ см. Обозначим острый угол параллелограмма как $\alpha$, а тупой — как $\beta$.

1. Нахождение углов параллелограмма

Пусть высоты $h_1$ и $h_2$ проведены из вершины острого угла $A$ на продолжения сторон $BC$ и $DC$. Обозначим основания высот как $E$ и $F$ соответственно, так что $AE \perp DC$ и $AF \perp BC$. По условию, угол между этими высотами $\angle EAF = 150^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $AECF$. В нем:

• $\angle AFA = 90^\circ$ (по определению высоты)
• $\angle AEC = 90^\circ$ (по определению высоты)
• $\angle EAF = 150^\circ$ (по условию)
• $\angle FCE$ равен углу $\angle C$ параллелограмма, который, в свою очередь, равен острому углу $\alpha$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Составим уравнение:

$\angle EAF + \angle AFA + \angle FCE + \angle AEC = 360^\circ$

$150^\circ + 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 360^\circ$

$330^\circ + \alpha = 360^\circ$

Отсюда находим острый угол параллелограмма:

$\alpha = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$

Тупой угол параллелограмма будет равен $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

2. Вычисление высот параллелограмма

Теперь, зная углы и стороны параллелограмма, мы можем найти его высоты. В параллелограмме две высоты: одна ($h_a$) проведена к стороне $a=18$ см, другая ($h_b$) — к стороне $b=10$ см.

Высоту $h_a$, проведенную к стороне $a=18$ см, можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной $b=10$ см (которая будет гипотенузой), высотой $h_a$ (катет) и острым углом $\alpha=30^\circ$.

$h_a = b \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Аналогично, высоту $h_b$, проведенную к стороне $b=10$ см, можно найти из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является сторона $a=18$ см:

$h_b = a \cdot \sin(\alpha) = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Таким образом, высоты параллелограмма равны 5 см и 9 см.

Проверка через площадь:

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

$S = 18 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) = 180 \cdot \frac{1}{2} = 90$ см².

С другой стороны, $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

$h_a = \frac{S}{a} = \frac{90}{18} = 5$ см.

$h_b = \frac{S}{b} = \frac{90}{10} = 9$ см.

Результаты совпадают.

Ответ: 5 см и 9 см.

Условие 2015-2022.

72. Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол $150^\circ$, стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см. Найдите высоты параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).