Номер 75, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 75, страница 20.

Условие 2023.

75. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Эти три точки могут быть тремя вершинами параллелограмма. Четвертая вершина параллелограмма определяется однозначно, как только мы решим, какие из данных точек являются смежными.

Поскольку любую из трех данных точек можно рассматривать как вершину, из которой выходят две стороны, образованные двумя другими точками, существует три возможных способа построить параллелограмм. Рассмотрим все три случая.

1. Построение параллелограмма $ABCD_1$

В этом случае отрезки $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами, а отрезок $AC$ — диагональю. Чтобы найти четвертую вершину $D_1$, необходимо выполнить следующие построения:

1. Провести через точку $A$ прямую, параллельную прямой $BC$.
2. Провести через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$.

Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой четвертой вершиной $D_1$.

2. Построение параллелограмма $ACBD_2$

В этом случае смежными сторонами являются отрезки $AC$ и $CB$, а диагональю — отрезок $AB$. Чтобы найти четвертую вершину $D_2$, необходимо:

1. Провести через точку $A$ прямую, параллельную прямой $CB$.
2. Провести через точку $B$ прямую, параллельную прямой $AC$.

Точка пересечения этих двух прямых будет искомой вершиной $D_2$.

3. Построение параллелограмма $ABDC_3$

В этом случае смежными сторонами являются отрезки $AB$ и $AC$, а диагональю — отрезок $BC$. Чтобы найти четвертую вершину $D_3$, необходимо:

1. Провести через точку $B$ прямую, параллельную прямой $AC$.
2. Провести через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$.

Точка пересечения этих двух прямых будет искомой вершиной $D_3$.

Так как исходные три точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, все три построенные вершины ($D_1$, $D_2$, $D_3$) будут различными и не будут совпадать ни с одной из исходных точек. Таким образом, задача имеет ровно три решения.

Ответ: Для построения параллелограмма необходимо через две из данных точек (например, $A$ и $C$) провести прямые, параллельные отрезкам, соединяющим их с третьей точкой (соответственно $BC$ и $AB$). Точка пересечения этих прямых будет четвертой вершиной. Так как существует три способа выбрать пару смежных сторон из трех данных точек, задача имеет 3 решения.

Условие 2015-2022.

75. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по двум диагоналям и стороне;

3) по стороне, диагонали и углу между ними.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).