Номер 76, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 76, страница 20.

Условие 2023.

76. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим длины его соседних сторон как $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$.

Пусть точка $K$ — точка пересечения биссектрис двух соседних углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. По условию задачи, точка $K$ принадлежит одной из сторон параллелограмма. Так как биссектрисы углов $A$ и $B$ выходят из вершин стороны $AB$, их точка пересечения $K$ может лежать только на противоположной стороне $CD$.

Рассмотрим биссектрису $AK$ угла $\angle A$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $AK$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BAK$ и $\angle AKD$ равны:

$\angle BAK = \angle AKD$

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $\angle A$ (или $\angle DAB$), то она делит его пополам:

$\angle DAK = \angle BAK$

Из этих двух равенств следует, что $\angle DAK = \angle AKD$. Таким образом, треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Отсюда следует, что длина стороны $DK$ равна длине стороны $AD$:

$DK = AD = b$

Теперь аналогично рассмотрим биссектрису $BK$ угла $\angle B$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $BK$ — секущая. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ABK$ и $\angle BKC$ равны:

$\angle ABK = \angle BKC$

Поскольку $BK$ является биссектрисой угла $\angle B$ (или $\angle ABC$), то:

$\angle CBK = \angle ABK$

Из этих двух равенств следует, что $\angle CBK = \angle BKC$. Таким образом, треугольник $\triangle BCK$ является равнобедренным с основанием $BK$. Отсюда следует, что длина стороны $CK$ равна длине стороны $BC$:

$CK = BC = b$

Точка $K$ лежит на стороне $CD$, поэтому длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $DK$ и $CK$ (поскольку $K$ лежит между $D$ и $C$):

$CD = DK + CK$

Подставляя найденные значения, получаем равенство:

$a = b + b = 2b$

Таким образом, одна из соседних сторон параллелограмма в два раза больше другой. Отношение длин соседних сторон равно $a:b = 2:1$ или, что то же самое, $b:a = 1:2$.

Если бы мы рассмотрели биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle D$, их точка пересечения лежала бы на стороне $BC$, и мы бы получили результат $b = 2a$, что приводит к тому же самому отношению сторон.

Ответ: 1:2.

Условие 2015-2022.

76. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и диагонали;

2) по двум диагоналям и углу между ними.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).