Номер 80, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 80, страница 20.

Условие 2023.

80. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ вне его построены равносторонние треугольники $ABM$ и $BCK$. Докажите, что треугольник $MKD$ - равносторонний.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Чтобы доказать, что треугольник $MKD$ равносторонний, нам нужно показать, что все его стороны равны: $MK = KD = DM$. Мы сделаем это, доказав равенство трех других треугольников: $\triangle DAM$, $\triangle KCD$ и $\triangle MBK$ методом «сторона-угол-сторона» (СУС).

1. Докажем, что $\triangle DAM \cong \triangle KCD$

Сначала определим длины сторон и величины углов, используя свойства параллелограмма и равносторонних треугольников.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм. Это означает, что $AD = BC$ и $AB = CD$. Также противоположные углы равны: $\angle DAB = \angle BCD$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

По условию, $\triangle ABM$ и $\triangle BCK$ — равносторонние. Следовательно: - $AM = AB$ и все углы $\triangle ABM$ равны $60^\circ$. - $CK = BC$ и все углы $\triangle BCK$ равны $60^\circ$.

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle DAM$ и $\triangle KCD$: - Сторона DA: $DA = BC$ (свойство параллелограмма), а $BC = CK$ (по построению). Следовательно, $DA = CK$. - Сторона AM: $AM = AB$ (по построению), а $AB = CD$ (свойство параллелограмма). Следовательно, $AM = CD$. - Угол $\angle DAM$: Так как $\triangle ABM$ построен вне параллелограмма, угол $\angle DAM$ равен сумме углов $\angle DAB$ и $\angle MAB$. Таким образом, $\angle DAM = \angle DAB + \angle MAB = \alpha + 60^\circ$. - Угол $\angle KCD$: Аналогично, $\angle KCD = \angle BCD + \angle BCK = \alpha + 60^\circ$.

Мы видим, что две стороны и угол между ними у треугольников $\triangle DAM$ и $\triangle KCD$ соответственно равны ($DA = CK$, $AM = CD$, $\angle DAM = \angle KCD$). По признаку СУС, $\triangle DAM \cong \triangle KCD$. Из этого следует равенство их третьих сторон: $DM = KD$.

2. Докажем, что $\triangle MBK \cong \triangle DAM$

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle MBK$ и $\triangle DAM$: - Сторона MB: $MB = AB$ (по построению), а $AB = AM$ (по построению). Следовательно, $MB = AM$. - Сторона BK: $BK = BC$ (по построению), а $BC = DA$ (свойство параллелограмма). Следовательно, $BK = DA$. - Угол $\angle MBK$: Пусть $\angle ABC = \beta$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, т.е. $\alpha + \beta = 180^\circ$. Сумма углов вокруг точки $B$ равна $360^\circ$. Эти углы — $\angle ABM=60^\circ$, $\angle ABC=\beta$ и $\angle CBK=60^\circ$. Угол $\angle MBK$ является замыкающим. Таким образом, $\angle MBK = 360^\circ - (\angle ABM + \angle ABC + \angle CBK) = 360^\circ - (60^\circ + \beta + 60^\circ) = 240^\circ - \beta$. Выразим $\beta$ через $\alpha$: $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим в формулу для угла: $\angle MBK = 240^\circ - (180^\circ - \alpha) = 60^\circ + \alpha$.

Мы уже знаем, что $\angle DAM = \alpha + 60^\circ$. Следовательно, $\angle MBK = \angle DAM$.

Получаем, что в треугольниках $\triangle MBK$ и $\triangle DAM$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($MB = AM$, $BK = DA$, $\angle MBK = \angle DAM$). По признаку СУС, $\triangle MBK \cong \triangle DAM$. Из этого следует равенство их третьих сторон: $MK = DM$.

3. Заключение

Из первого пункта мы получили, что $DM = KD$. Из второго пункта мы получили, что $MK = DM$. Объединяя эти результаты, имеем: $MK = KD = DM$. Так как все три стороны треугольника $MKD$ равны, он является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано: треугольник $MKD$ является равносторонним.

Условие 2015-2022.

80. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;

2) по двум диагоналям и высоте;

3) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).