Номер 77, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 77, страница 20.

Условие 2023.

77. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ существует такая точ- ка $M$, что $BM = MD = CD$. Найдите углы параллелограмма, если $AD = BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$ так, что выполняются условия: $BM = MD = CD$ и $AD = BD$.

Рассмотрим свойства, вытекающие из условий задачи:
1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $AD = BC$ и $AB = CD$.
2. Из условия $AD = BD$ и свойства $AD = BC$ следует, что $BC = BD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BDC = \angle BCD$.
3. Из условия $BM = MD = CD$ и свойства $AB = CD$ следует, что $BM = MD = AB$.

Для нахождения углов параллелограмма введем переменную. Пусть $\angle C = \angle BCD = \alpha$.
Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\angle A = \angle C = \alpha$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = \angle D = 180^\circ - \alpha$.

Теперь выразим через $\alpha$ углы в треугольниках, образованных данными в условии отрезками:
1. В треугольнике $BCD$: так как он равнобедренный ($BC=BD$), то $\angle BDC = \angle BCD = \alpha$.
2. В треугольнике $ABD$: по условию $AD = BD$, значит он равнобедренный. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle ABD = \angle BAD = \angle A = \alpha$.
3. В треугольнике $MCD$: по условию $MD = CD$, значит он равнобедренный. Углы при основании $MC$ равны: $\angle CMD = \angle MCD$. Так как $\angle MCD = \angle BCD = \alpha$, то $\angle CMD = \alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle MDC = 180^\circ - (\angle CMD + \angle MCD) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.
4. В треугольнике $BMD$: по условию $BM = MD$, он также равнобедренный. Углы при основании $BD$ равны: $\angle MBD = \angle MDB$. Найдем угол $\angle MBD$. Он является частью угла $\angle B$ параллелограмма: $\angle MBD = \angle CBD = \angle ABC - \angle ABD$. Мы знаем, что $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$ и $\angle ABD = \alpha$. Тогда $\angle MBD = (180^\circ - \alpha) - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$. Следовательно, $\angle MDB = \angle MBD = 180^\circ - 2\alpha$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому луч $DM$ проходит внутри угла $\angle BDC$. Это позволяет нам составить уравнение, связывающее его части:
$\angle BDC = \angle MDB + \angle MDC$

Подставим в это равенство выражения для углов, которые мы нашли ранее:
$\alpha = (180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\alpha)$
Решим полученное уравнение:
$\alpha = 360^\circ - 4\alpha$
$5\alpha = 360^\circ$
$\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

Мы нашли значение угла $\alpha$. Теперь можем определить все углы параллелограмма $ABCD$:
Острые углы: $\angle A = \angle C = \alpha = 72^\circ$.
Тупые углы: $\angle B = \angle D = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Ответ: углы параллелограмма равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

Условие 2015-2022.

77. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).