Номер 74, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 74, страница 20.

Условие 2023.

74. Через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна $100$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a, b, c$, где $a$ — длина стороны $BC$, $b$ — длина стороны $AC$, и $c$ — длина стороны $AB$. Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = a + b + c$.

Прямые, проведенные через каждую вершину треугольника параллельно противолежащей стороне, образуют три различных параллелограмма. У каждого из этих параллелограммов две стороны совпадают со сторонами исходного треугольника.

Рассмотрим эти три параллелограмма:
1. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны сторонам $a$ и $c$ треугольника $ABC$. Его периметр равен $2(a+c)$.
2. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны сторонам $a$ и $b$ треугольника $ABC$. Его периметр равен $2(a+b)$.
3. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны сторонам $b$ и $c$ треугольника $ABC$. Его периметр равен $2(b+c)$.

По условию задачи, сумма периметров всех трех параллелограммов равна 100 см. Составим и решим уравнение:
$2(a+c) + 2(a+b) + 2(b+c) = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2a + 2c + 2a + 2b + 2b + 2c = 100$
$4a + 4b + 4c = 100$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(a + b + c) = 100$

Выражение в скобках, $a+b+c$, является периметром исходного треугольника $ABC$. Следовательно:
$4 \cdot P_{ABC} = 100$

Отсюда находим периметр треугольника $ABC$:
$P_{ABC} = \frac{100}{4}$
$P_{ABC} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

Условие 2015-2022.

74. Через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).