Номер 67, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 67, страница 19.

Условие 2023.

67. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = 12$ см, $AB = 3$ см, биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отрезок $EF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AD = 12$ см и $AB = 3$ см. Биссектрисы $BE$ и $CF$ углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

Нахождение длины отрезка AE

Рассмотрим биссектрису $BE$ угла $ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $\angle ABE = \angle CBE$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. При пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BE$ образуются равные внутренние накрест лежащие углы: $\angle CBE = \angle AEB$. Из равенств $\angle ABE = \angle CBE$ и $\angle CBE = \angle AEB$ следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны (стороны, прилежащие к основанию) равны: $AE = AB$. По условию задачи $AB = 3$ см, следовательно, $AE = 3$ см.

Нахождение длины отрезка FD

Рассмотрим биссектрису $CF$ угла $BCD$. По определению биссектрисы, $\angle BCF = \angle FCD$. Так как $BC \parallel AD$, а $CF$ — секущая, то внутренние накрест лежащие углы $\angle BCF$ и $\angle CFD$ равны: $\angle BCF = \angle CFD$. Из равенств $\angle BCF = \angle FCD$ и $\angle BCF = \angle CFD$ следует, что $\angle FCD = \angle CFD$. Следовательно, треугольник $FCD$ является равнобедренным с основанием $CF$. В этом треугольнике боковые стороны равны: $FD = CD$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 3$ см. Таким образом, $FD = 3$ см.

Нахождение длины отрезка EF

Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $AD$. Длина стороны $AD$ равна 12 см. Мы нашли, что расстояние от точки $A$ до точки $E$ равно $AE = 3$ см. Расстояние от точки $D$ до точки $F$ равно $FD = 3$ см. Так как $AE + FD = 3 + 3 = 6$ см, а $AD = 12$ см, то $AE + FD < AD$, это подтверждает, что точка $E$ лежит между $A$ и $F$. Длина отрезка $AD$ может быть представлена как сумма длин составляющих его отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Выразим из этого равенства длину искомого отрезка $EF$: $EF = AD - AE - FD$. Подставим известные значения: $EF = 12 - 3 - 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

67. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = 12$ см, $AB = 3$ см, биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отрезок $EF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).