Номер 65, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 65, страница 19.

Условие 2023.

65. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 5, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть $\angle A$ — острый угол, а $\angle B$ — смежный с ним тупой угол. Проведем биссектрису $AE$ острого угла $A$ так, что точка $E$ лежит на стороне $BC$.

Согласно условию, биссектриса делит сторону $BC$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла $B$. Таким образом, мы имеем соотношение $BE:EC = 3:5$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AE$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DAE$ и $\angle BEA$ являются накрест лежащими, и, следовательно, они равны: $\angle DAE = \angle BEA$.

Так как $AE$ — биссектриса угла $\angle A$, она делит его на два равных угла: $\angle BAE = \angle DAE$.

Из двух предыдущих равенств ($\angle DAE = \angle BEA$ и $\angle BAE = \angle DAE$) следует, что $\angle BAE = \angle BEA$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $AE$, поэтому его боковые стороны равны: $AB = BE$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда из отношения $BE:EC = 3:5$ получаем $BE = 3k$ и $EC = 5k$. Так как $AB = BE$, то сторона параллелограмма $AB = 3k$. Другая сторона, $BC$, равна сумме отрезков: $BC = BE + EC = 3k + 5k = 8k$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию, $P = 66$ см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра и составим уравнение: $2(3k + 8k) = 66$

Решим полученное уравнение: $2 \cdot (11k) = 66$
$22k = 66$
$k = \frac{66}{22}$
$k = 3$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма, подставив найденное значение $k$: Одна сторона $AB = 3k = 3 \cdot 3 = 9$ см. Смежная сторона $BC = 8k = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 9 см и 24 см.

Условие 2015-2022.

65. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).