Номер 71, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 71, страница 19.

Условие 2023.

71. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $30^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\angle B$ — тупой угол, а $\angle A$ — острый. Из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BH_1$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и $BH_2$ к прямой, содержащей сторону $CD$. По условию, угол между этими высотами $\angle H_1BH_2 = 30^{\circ}$.

Так как углы $\angle A$ и $\angle C$, прилежащие к сторонам $AD$ и $CD$, являются острыми, то основания высот будут лежать на самих сторонах $AD$ и $CD$. То есть $H_1$ лежит на $AD$, а $H_2$ — на $CD$.

Рассмотрим четырехугольник $BH_1DH_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^{\circ}$. В этом четырехугольнике:

• $\angle BH_1D = 90^{\circ}$ (так как $BH_1$ — высота)
• $\angle BH_2D = 90^{\circ}$ (так как $BH_2$ — высота)
• $\angle H_1DH_2$ — это угол $\angle D$ параллелограмма, который является тупым и равен $\angle B$. Обозначим его $\beta$.
• $\angle H_1BH_2$ — это угол между высотами, который по условию равен $30^{\circ}$.

Складывая углы четырехугольника, получаем:$\angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle H_1DH_2 + \angle BH_2D = 360^{\circ}$$30^{\circ} + 90^{\circ} + \beta + 90^{\circ} = 360^{\circ}$$\beta + 210^{\circ} = 360^{\circ}$$\beta = 150^{\circ}$

Таким образом, тупой угол параллелограмма равен $150^{\circ}$. Острый угол $\alpha$ будет равен:$\alpha = 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Высоты, проведенные к этим сторонам, обозначим $h_a$ и $h_b$. По условию, $h_1 = 4$ см и $h_2 = 6$ см.Из прямоугольного треугольника, образованного стороной $a$, высотой $h_b$ и острым углом $\alpha$, имеем:$h_b = a \cdot \sin(\alpha)$Аналогично для высоты $h_a$:$h_a = b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $\alpha = 30^{\circ}$ и $\sin(30^{\circ}) = 0.5$. Пусть $h_a = 4$ см и $h_b = 6$ см.$h_a = b \cdot \sin(30^{\circ}) \Rightarrow 4 = b \cdot 0.5 \Rightarrow b = 8$ см.$h_b = a \cdot \sin(30^{\circ}) \Rightarrow 6 = a \cdot 0.5 \Rightarrow a = 12$ см.Стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле:$P = 2(a + b)$$P = 2(12 + 8) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
Ответ: 40 см.

Условие 2015-2022.

71. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $30^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).