Номер 70, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 70, страница 19.

Условие 2023.

70. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

Пусть имеется параллелограмм $ABCD$. Пусть $\angle A$ ($\angle BAD$) — острый угол параллелограмма. Из вершины $A$ проведены две высоты: $AH$ к прямой, содержащей сторону $CD$, и $AK$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Таким образом, $AH \perp CD$ и $AK \perp BC$.

Доказать:

Угол между высотами $\angle HAK$ равен тупому углу параллелограмма, то есть $\angle HAK = \angle ABC$ (или $\angle HAK = \angle ADC$).

Доказательство:

1. В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как $\angle BAD$ — острый, то смежный с ним угол $\angle ABC$ является тупым, так как $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD$. Аналогично, угол $\angle ADC$, противолежащий углу $\angle ABC$, также является тупым ($\angle ADC = \angle ABC$).

2. Рассмотрим высоту $AH$, проведённую к прямой $CD$. Поскольку угол $\angle ADC$ тупой, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $CD$ за вершину $D$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\Delta ADH$, в котором $\angle AHD = 90^\circ$.

3. Угол $\angle ADH$ является смежным с углом параллелограмма $\angle ADC$. Следовательно, $\angle ADH = 180^\circ - \angle ADC$. Из прямоугольного треугольника $\Delta ADH$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - (180^\circ - \angle ADC) = \angle ADC - 90^\circ$.

4. Рассмотрим высоту $AK$, проведённую к прямой $BC$. Поскольку угол $\angle ABC$ тупой, основание высоты $K$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\Delta ABK$, в котором $\angle AKB = 90^\circ$.

5. Угол $\angle ABK$ является смежным с углом параллелограмма $\angle ABC$. Следовательно, $\angle ABK = 180^\circ - \angle ABC$. Из прямоугольного треугольника $\Delta ABK$ имеем:

$\angle BAK = 90^\circ - \angle ABK = 90^\circ - (180^\circ - \angle ABC) = \angle ABC - 90^\circ$.

6. Угол между высотами $\angle HAK$ складывается из трех углов: $\angle DAH$, острого угла параллелограмма $\angle DAB$ и угла $\angle BAK$.

$\angle HAK = \angle DAH + \angle DAB + \angle BAK$.

7. Подставим в это равенство найденные выражения для $\angle DAH$ и $\angle BAK$. Также используем тот факт, что $\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC$ и $\angle ADC = \angle ABC$.

$\angle HAK = (\angle ADC - 90^\circ) + (180^\circ - \angle ABC) + (\angle ABC - 90^\circ)$

$\angle HAK = (\angle ABC - 90^\circ) + (180^\circ - \angle ABC) + (\angle ABC - 90^\circ)$

8. Упростим полученное выражение:

$\angle HAK = \angle ABC - 90^\circ + 180^\circ - \angle ABC + \angle ABC - 90^\circ$

$\angle HAK = (\angle ABC - \angle ABC + \angle ABC) + (180^\circ - 90^\circ - 90^\circ)$

$\angle HAK = \angle ABC + 0^\circ = \angle ABC$.

Таким образом, мы доказали, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

70. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).