Номер 63, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 63, страница 19.

Условие 2023.

63. Один из углов, образованных при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен $24^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Так как $AK$ является биссектрисой, то $\angle BAK = \angle DAK$.
Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны ($AD \parallel BC$), а прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых, то накрест лежащие углы равны: $\angle DAK = \angle AKB$.
Сопоставив два равенства, получаем, что $\angle BAK = \angle AKB$.
Следовательно, треугольник $ABK$, образованный стороной $AB$, биссектрисой $AK$ и частью стороны $BC$, является равнобедренным с основанием $AK$.

В условии сказано, что один из углов, образованных при пересечении, равен $24^\circ$. Это может быть как угол, созданный биссектрисой и стороной в точке их пересечения, так и угол самого параллелограмма, входящий в образованный треугольник. Это приводит к двум возможным решениям.

Случай 1. Угол при пересечении $\angle AKB$ равен $24^\circ$.
Из того, что $\triangle ABK$ — равнобедренный, следует, что $\angle BAK$ также равен $24^\circ$.
Поскольку $AK$ — это биссектриса угла $A$, то весь угол $A$ равен $2 \cdot \angle BAK = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, угол $B$ равен $180^\circ - \angle A = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.
Углы параллелограмма: $48^\circ, 132^\circ, 48^\circ, 132^\circ$.

Случай 2. Угол параллелограмма $\angle B$ (он же $\angle ABK$) равен $24^\circ$.
В этом случае прилежащий к нему угол $A$ равен $180^\circ - \angle B = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ$.
Углы параллелограмма: $156^\circ, 24^\circ, 156^\circ, 24^\circ$.
Этот вариант также удовлетворяет условию, поскольку в образованном треугольнике $ABK$ есть угол, равный $24^\circ$.

Ответ: $48^\circ, 132^\circ, 48^\circ, 132^\circ$ или $24^\circ, 156^\circ, 24^\circ, 156^\circ$.

Условие 2015-2022.

63. Один из углов, образованных при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен $24^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).