Номер 57, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 57, страница 18.

Условие 2023.

57. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $24$ см, $\angle ABC = 160^\circ$, диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $10^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Обозначим стороны параллелограмма как $AB$ и $BC$. Периметр параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$.

По условию задачи, периметр равен 24 см, следовательно, $2(AB + BC) = 24$ см. Разделив обе части на 2, получим, что сумма смежных сторон $AB + BC = 12$ см.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых.

Угол, который диагональ $AC$ образует со стороной $AD$, это $\angle CAD$. По условию $\angle CAD = 10°$.

Углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BCA = \angle CAD = 10°$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Нам известны два угла этого треугольника:

• $\angle ABC = 160°$ (из условия задачи)
• $\angle BCA = 10°$ (как было найдено выше)

Найдем третий угол треугольника, $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle BCA = 180° - 160° - 10° = 10°$.

Мы видим, что в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = 10°$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. То есть, $AB = BC$.

Теперь мы можем найти длины сторон. У нас есть два условия:

$AB + BC = 12$

$AB = BC$

Подставим второе равенство в первое:

$AB + AB = 12 \implies 2 \cdot AB = 12 \implies AB = 6$ см.

Так как $AB = BC$, то $BC$ также равно 6 см.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($AB=CD$ и $BC=AD$), то все его стороны равны 6 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 6 см.

Условие 2015-2022.

57. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 24 см, $\angle ABC = 160^{\circ}$, диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $10^{\circ}$. Найдите стороны параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).